[蓝桥杯 2023 省 A] 异或和之和

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#蓝桥杯 #算法 #职场和发展 #c++

[蓝桥杯 2023 省 A] 异或和之和

题目描述

给定一个数组 Ai，分别求其每个子段的异或和，并求出它们的和。或者说，对于每组满足 1≤L≤R≤n的 L,R求出数组中第 L至第 R个元素的异或和。然后输出每组 L,R 得到的结果加起来的值。

输入格式

输入的第一行包含一个整数 n。

第二行包含 n个整数 Ai，相邻整数之间使用一个空格分隔。

输出格式

输出一行包含一个整数表示答案。

对于所有评测用例，1≤n≤ $10^{5}$ ，0≤Ai≤ $2^{20}$ 。

解析

首先我们要知道a $\bigoplus$ b $\bigoplus$ b=a,因此我们构造前缀和S[i]表示[1,i]的异或和，那么[L,R]的异或和为

S[R] $\bigoplus$ S[L-1].

一种暴力的做法是依次遍历数组A,对于每一个A[i]，计算 $\sum_{0}^{i-1}S[i]\bigoplus S[j]$ ，表示以i作为最右侧的所有异或和，时间复杂度为O( $n^{2}$ )。

换一个思路，0≤Ai≤ $2^{20}$ ,那么我们可以计算每一位的贡献, $S[R]\bigoplus S[L]$ 的值也就是将每一位k，若k为1，则其贡献为 $2^{k}$ ,因此我们可以用一个数组tot[k]，表示S[0,i-1]中第k位为1的个数，那么第k位的贡献可以在O(1)的时间复杂度内计算， $\sum_{0}^{i-1}S[i]\bigoplus S[j]$ 就可以20次内计算出来，时间的复杂度也就是O(n).

for (int k = 0; k < 20; k++) {
	if (bi[k] == 0) {
		ans += (ll)tot[k] * (1 << k);
	}
	else {
		ans += (ll)(i - tot[k]) * (1 << k);
	}
}

bi[k]表示S[i]的第k位的值，如果是0，那么S[0,i-1]中第k位为1的异或和可以贡献 $tot[k] * (1 << k)$ ，否则是S[0,i-1]中第k位为0的异或和可以贡献， $(i - tot[k]) * (1 << k)$

数组tot进行动态更新即可

for (int k = 0; k < cnt; k++) tot[k] += bi[k];

详细代码如下

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;
typedef long long ll;;
const int maxsize = 1e5 + 10;
int n;
int A[maxsize];
int S[maxsize];
int tot[22]; //tot[k] records the number from 1 to N-1 whose Kst bit is 1;
int bi[22];
int main()
{
	scanf("%d", &n);
	S[0] = 0;
	memset(tot, 0, sizeof(tot));
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		scanf("%d", &A[i]);
		S[i] = S[i - 1] ^ A[i];
	}
	ll ans = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		int tmp = S[i];
		int cnt = 0;
		memset(bi, 0, sizeof(bi));
		while (tmp != 0){
			bi[cnt++] = tmp % 2;
			tmp /= 2;
		}
		for (int k = 0; k < 20; k++) {
			if (bi[k] == 0) {
				ans += (ll)tot[k] * (1 << k);
			}
			else {
				ans += (ll)(i - tot[k]) * (1 << k);
			}
		}
		for (int k = 0; k < cnt; k++) tot[k] += bi[k];
	}
	cout << ans << endl;
	return 0;
}