欧拉定理

• 前置技能

  • 剩余系和剩余类
    
    • 定义$1$(剩余类)：设$m$为自然数，称为模，所有对$m$同余的整数所组成的集合叫做模$m$的一个剩余类，如果一个剩余类中的数和模数$m$是互素的，那么就称它为模$m$的一个互素剩余类。
    • 定义$2$(剩余系)：在每一个剩余系$K_\gamma(0 \leq \gamma \leq m - 1)$中任取一数$a_\gamma$，我们把$a_0, a_1, \dots , a_{m - 1}$叫做模$m$的一个完全剩余系；在每一个互素剩余类$K_\gamma（0 \leq \gamma \leq m - 1, (\gamma, m) = 1）$中任取一数$a_\gamma$，则所有的$a_\gamma$称为模$m$的一个互素（简化）剩余系。
    • 定理$1$：设$m$为自然数，$K, l$为任意数且$(K, m) = 1$，则当$x$通过$m$的完全系时，$Kx + l$也通过$m$的一个完全系。
    • 定理$2$：设$m$为自然数，$K, l$为任意数且$(K, m) = 1$，则当$x$通过$m$的简化系时，$Kx + lm$也通过$m$的一个简化系。

• 欧拉定理表达式

  $$a^{\varphi(m)}\equiv 1\;(mod\;m)\;\;((a, m) = 1)$$

• 证明
  欧拉定理的证明需要用到的是上述定理中的定理2。
  设

  $$x_1, x_2, \dots , x_{\varphi(m)}$$ 是模$m$的一个简化系，因为$(a, m) =1$，由定理2可知 $$ax_1, ax_2, \dots , ax_{\varphi(m)}$$ 也是通过模$m$的一个简化系。所以有 $$(ax_1)(ax_2)\dots(ax_{\varphi(m)}) \equiv x_1x_2\dots x_{\varphi(m)}\;\;(mod\;m)$$ 因为 $$(x_1x_2\dots x_{\varphi(m)}, m) = 1$$ 所以我们得到 $$a^{\varphi(m)}\equiv 1\;\;(mod \; m)$$ 证毕.