ACM常用公式

排列组合

1. 组合数奇偶性判断： $C(n, m)为奇数 \Leftrightarrow (n$ & $m) = = m$
2. 第二类斯特林数奇偶性判断：
   $$\begin{Bmatrix} n\\ k\end{Bmatrix} \equiv \binom{n - \left \lceil \frac{k + 1}{2} \right \rceil} {\left \lfloor \frac{k - 1}{2} \right \rfloor } mod\;\;2$$

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基础数论

公式

1. 欧拉降幂(扩展欧拉定理)
   $$a^b\equiv \begin{cases} a^{b\%\phi(p)}~~~~~~~~~~~gcd(a,p)=1\\ a^b~~~~~~~~~~~~~~~~~~~gcd(a,p)\neq1,b<\phi(p)\\ a^{b\%\phi(p)+\phi(p)}~~~~gcd(a,p)\neq1,b\geq\phi(p) \end{cases}~~~~~~~(mod~p)$$
2. 费马小定理
   若$p$是质数且$\gcd(a,~p) = 1$，则 $$a^{p-1} \equiv 1 ~(\mod p)$$
3. 连续区间内逆元的线性递推
   对于求解$1 - p$之间的所有数关于奇质数$p$的逆元，存在线性递推关系如下： $$inv[i] = (p - p / i) * inv[p \%i]\%p$$
4. 费马大定理
   当整数$n > 2$时，关于$x, y, z$的方程 $x^n + y ^ n = z^n$ 没有正整数解
5. 构造勾股数
   已知正整数$a, b, c$满足$a^2 + b^2 = c^2$，并且$a$是已知的，求解方程的一组正整数解
   
   1. 当$a$为大于$1$的奇数$2n +1$时，$b = 2*n ^ 2 + 2n,~c = 2*n^2 + 2n + 1$
   2. 当$a$为大于$2$的偶数$2n$时， $b = n^2 - 1, ~ c = n ^ 2 + 1$

   证明

   线性求解$1-p$的逆元

   对于求解$1-p$的所有数关于奇质数$p$的逆元，存在递推关系式如下：

   $$inv[i] = (M - M/i)*inv[M\%i]\%M$$
   证明：
   设$t = M / i, k = M \% i$，那么
   $\Rightarrow t * i + k \equiv 0\;\;(mod\;M)$
   $\Rightarrow -t * i \equiv k\;\;(mod\;M)$
   对上式两边同时除以$i * k$
   得到$-t * inv[k] \equiv inv[i](mod\;\;M)$
   再把$t$和$k$替换掉，最终得到$inv[i] = (M - M/i)*inv[M\%i]\%M$
   初始化$inv[1] = 1$，就可以通过递推线性求出$1- p$模奇素数$p$的所有逆元了。

   自然数幂和

   1. 通过递推公式求解：
      记$S(n, k) = \sum_{i = 1}^{n}i^k$，可以得到如下递归式
      $$S(n, k) = \frac{1}{k + 1}[(n + 1)^{k + 1} - (C_{k + 1}^{2}S(n, k - 1) + C_{k + 1}^{3}S(n, k - 2) + \dots + C_{k + 1}^{k}S(n, 1) + n + 1)]$$ 证明：
      由二项式定理，可以得到 $$(n + 1)^{k + 1} - n^k = C_{k + 1}^{1}n^k + C_{k + 1}^{2}n^{k - 1} + \dots + C_{k + 1}^{k}n + 1$$ ，令$n = 1, 2, 3, \dots$，累加后可得 $$(n + 1)^{k + 1} - 1 = C_{k + 1}^{1}\sum_{i = 1}^{n}i^k + C_{k + 1}^{2}\sum_{i = 1}^{n}i^{k - 1} + \dots + C_{k + 1}^{k}\sum_{i = 1}^{n}i + n$$ 进一步得到 $$n^k = \frac{1}{k + 1}[(n + 1)^{k + 1} - (C_{k + 1}^{2}\sum_{i = 1}^{n}i^{k - 1} + C_{k + 1}^{3}\sum_{i = 1}^{n}i^{k - 2} \dots + C_{k + 1}^{k}\sum_{i = 1}^{n}i + n + 1 )]$$ 记$S(n, k) = \sum_{i = 1}^{n}i^k$，可以得到如下递归式 $$S(n, k) = \frac{1}{k + 1}[(n + 1)^{k + 1} - (C_{k + 1}^{2}S(n, k - 1) + C_{k + 1}^{3}S(n, k - 2) + \dots + C_{k + 1}^{k}S(n, 1) + n + 1)]$$ 递归出口是$k == 1$， $S(n, k) = \frac{n(n + 1)}{2}$
      在递归的过程中进行记忆化，可以在$O(k ^ 2)$的时间复杂度内求解自然数和
      • 通过伯努利数求解
        通过伯努利数以及必要的预处理，可以在线性时间复杂度内求解出自然数幂和，公式描述如下： $$\sum_{i = 1}^{n}i^k = \frac{1}{k + 1}\sum_{i = 1}^{k + 1}C_{k + 1}^{i}B_{k - i + 1}(n + 1)^i$$
        求伯努利数的方法：
        伯努利数满足条件$B_0 = 1$，且有$\sum_{k = 1}^{n}C_{n + 1}^{k} = 0$，那么继续得到 $$B_n = -\frac{1}{n + 1}(C_{n + 1}^{0}B_0 + C_{n + 1}^{1}B_1 + \dots + C_{n + 1}^{n - 1}B_{n - 1})$$ 这就是伯努利数的递推公式。