k次方幂的和

快速求出1到n的k次方和

$$1^k+2^k+3^k +...+n^k=???$$

有没有什么快速的方法能够推导出上面的公式呢？？

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大家都知道（反正我之前只知道前三个）：

$$1+2+3+...+n=\frac12(n+1)n$$
$$1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac16n(n+1)(2n+1)$$
$$1^3+2^3+3^3+...+n^3=(1+2+3+...+n)^2=[\frac12(n+1)n]^2=\frac14(n+1)^2n^2$$
$$1^4+2^4+3^4+...+n^4=\frac1{30}n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)$$
$$...................$$

第1个公式的证明：
小学生请出门左拐。

第2个公式的证明：
$n^3-(n-1)^3$
$=n^2+n(n-1)+(n-1)^2$
$=2n^2+(n-1)^2-n$
得到
$1^3-0^3=2*1^2+0^2-1$
$2^3-1^3=2*2^2+1^2-2$
$3^3-2^3=2*3^2+2^2-3$
$...$
$n^3-(n-1)^3=2n^2+(n-1)^2-n$
全部相加
$n^3=3(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-n^2-(1+2+3+...+n)$
$3(1^2+2^2+3^3+...+n^2)=n^3+n^2+\frac12(n+1)n$
$1^2+2^2+3^3+...+n^2=\frac16n(n+1)(2n+1)$

第三个公式的证明：
$n^4-(n-1)^4$
$=[n^2+(n-1)^2][n^2-(n-1)^2]$
$=(2n^2-2n+1)(2n-1)$
$=4n^3-6n^2+4n-1$
得到
$1^4-0^4=4*1^3-6*1^2+4*1-1$
$2^4-1^4=4*2^3-6*2^2+4*2-1$
$3^4-2^4=4*3^3-6*3^2+4*3-1$
$...$
$n^4-(n-1)^4=4n^3-6n^2+4n-1$
全部相加
$n^4=4(1^3+2^3+3^3+...+n^3)-6(1^2+2^2+3^3+...+n^2)+4(1+2+3+...+n)-n$
$4(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=n^4+n(n+1)(2n+1)-2(n+1)n+n$
$1^3+2^3+3^3+...+n^3=\frac14(n+1)^2n^2$

应该能发现这个证明的方法的规律了吧（其实就是降次）

后面的递推着推就好

然而博主不会k次方幂的通项公式
这里是%%%ACdreamer的详细讲解