k次方幂的和

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#数学

快速求出1到n的k次方和

1k+2k+3k+...+nk=??? 1 k + 2 k + 3 k + . . . + n k = ? ? ?

有没有什么快速的方法能够推导出上面的公式呢？？

大家都知道（反正我之前只知道前三个）：

1+2+3+...+n=12(n+1)n 1 + 2 + 3 + . . . + n = 1 2 ( n + 1 ) n

12+22+32+...+n2=16n(n+1)(2n+1) 1 2 + 2 2 + 3 2 + . . . + n 2 = 1 6 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )

13+23+33+...+n3=(1+2+3+...+n)2=[12(n+1)n]2=14(n+1)2n2 1 3 + 2 3 + 3 3 + . . . + n 3 = ( 1 + 2 + 3 + . . . + n ) 2 = [ 1 2 ( n + 1 ) n ] 2 = 1 4 ( n + 1 ) 2 n 2

14+24+34+...+n4=130n(n+1)(2n+1)(3n2+3n−1) 1 4 + 2 4 + 3 4 + . . . + n 4 = 1 30 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) ( 3 n 2 + 3 n − 1 )

................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

第1个公式的证明：
小学生请出门左拐。

第2个公式的证明：
n3−(n−1)3 n 3 − ( n − 1 ) 3
=n2+n(n−1)+(n−1)2 = n 2 + n ( n − 1 ) + ( n − 1 ) 2
=2n2+(n−1)2−n = 2 n 2 + ( n − 1 ) 2 − n
得到
13−03=2∗12+02−1 1 3 − 0 3 = 2 ∗ 1 2 + 0 2 − 1
23−13=2∗22+12−2 2 3 − 1 3 = 2 ∗ 2 2 + 1 2 − 2
33−23=2∗32+22−3 3 3 − 2 3 = 2 ∗ 3 2 + 2 2 − 3
... . . .
n3−(n−1)3=2n2+(n−1)2−n n 3 − ( n − 1 ) 3 = 2 n 2 + ( n − 1 ) 2 − n
全部相加
n3=3(12+22+32+...+n2)−n2−(1+2+3+...+n) n 3 = 3 ( 1 2 + 2 2 + 3 2 + . . . + n 2 ) − n 2 − ( 1 + 2 + 3 + . . . + n )
3(12+22+33+...+n2)=n3+n2+12(n+1)n 3 ( 1 2 + 2 2 + 3 3 + . . . + n 2 ) = n 3 + n 2 + 1 2 ( n + 1 ) n
12+22+33+...+n2=16n(n+1)(2n+1) 1 2 + 2 2 + 3 3 + . . . + n 2 = 1 6 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )

第三个公式的证明：
n4−(n−1)4 n 4 − ( n − 1 ) 4
=[n2+(n−1)2][n2−(n−1)2] = [ n 2 + ( n − 1 ) 2 ] [ n 2 − ( n − 1 ) 2 ]
=(2n2−2n+1)(2n−1) = ( 2 n 2 − 2 n + 1 ) ( 2 n − 1 )
=4n3−6n2+4n−1 = 4 n 3 − 6 n 2 + 4 n − 1
得到
14−04=4∗13−6∗12+4∗1−1 1 4 − 0 4 = 4 ∗ 1 3 − 6 ∗ 1 2 + 4 ∗ 1 − 1
24−14=4∗23−6∗22+4∗2−1 2 4 − 1 4 = 4 ∗ 2 3 − 6 ∗ 2 2 + 4 ∗ 2 − 1
34−24=4∗33−6∗32+4∗3−1 3 4 − 2 4 = 4 ∗ 3 3 − 6 ∗ 3 2 + 4 ∗ 3 − 1
... . . .
n4−(n−1)4=4n3−6n2+4n−1 n 4 − ( n − 1 ) 4 = 4 n 3 − 6 n 2 + 4 n − 1
全部相加
n4=4(13+23+33+...+n3)−6(12+22+33+...+n2)+4(1+2+3+...+n)−n n 4 = 4 ( 1 3 + 2 3 + 3 3 + . . . + n 3 ) − 6 ( 1 2 + 2 2 + 3 3 + . . . + n 2 ) + 4 ( 1 + 2 + 3 + . . . + n ) − n
4(13+23+33+...+n3)=n4+n(n+1)(2n+1)−2(n+1)n+n 4 ( 1 3 + 2 3 + 3 3 + . . . + n 3 ) = n 4 + n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) − 2 ( n + 1 ) n + n
13+23+33+...+n3=14(n+1)2n2 1 3 + 2 3 + 3 3 + . . . + n 3 = 1 4 ( n + 1 ) 2 n 2

应该能发现这个证明的方法的规律了吧（其实就是降次）

后面的递推着推就好

然而博主不会k次方幂的通项公式
这里是%%%ACdreamer的详细讲解

北路人
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result : 1.0 / result; // 处理负指数 } ``` - 优点：时间和空间复杂度均为 $O(\log n)$，适合嵌入式系统或无递归优化环境。 选择思路：优先使用快速幂（递归或迭代），因为它平衡了效率和可读性；标准库`std::pow`适用于快速开发，但自定义实现更灵活[^1][^3]。 ### 3. **幂次方表示的实现思路** 幂次方表示的目标是将整数（如输入 $n$）输出为2的幂次方之和的字符串（如 $6 = 2^2 + 2^1$ 表示为"2(2)+2"）。引用[2]、[4]、[5]展示了递归结合位运算的方法，核心是分解数字的二进制表示。 - **递归与位运算算法（核心思路）**： - 原理：任何整数 $n$ 可以表示为 $n = \sum_{i} a_i \times 2^i$，其中 $a_i$ 是二进制位。算法遍历二进制位，递归处理高位部分。 - 实现步骤： 1. 预处理：生成2的幂次数组（如 $[1, 2, 4, 8, \dots]$），用于快速查找（引用[4][^4] 和 [5][^5] 使用了此技巧）。 2. 递归函数：从最高位开始遍历： - 如果某位为1（通过位运算检查），则输出对应的2的幂项（如 $2^k$）。 - 对高位指数 $k$ 递归调用自身，以处理嵌套幂（如 $2(2(0))$ 表示 $2^1$）。 - 通过标记“首个项”来管理输出格式（如添加 "+" 符号）。 3. 基础情况：当指数为0、1或2时，直接输出简化形式（如"2(0)"、"2"、"2(2)"）。 - 时间复杂度：$O(\log n)$，因为每个递归层级处理一个二进制位[^2][^4]。 - 优点：易于处理任意整数，输出人类可读的数学表示。 - 示例代码（基于引用[2]和[5]的合成简化版）： ```cpp #include <iostream> #include <cmath> using namespace std; // 递归函数：输出n的2的幂次方表示 void representAsPowerOfTwo(int n) { if (n == 0) { cout << "2(0)"; return; } bool first = true; // 标记是否为首个输出项 for (int i = 15; i >= 0; i--) { // 假设n <= 2^15 (32768) int bit = (n >> i) & 1; // 检查第i位（位运算） if (bit) { if (!first) cout << "+"; // 非首项添加加号 else first = false; if (i == 0) cout << "2(0)"; else if (i == 1) cout << "2"; else if (i == 2) cout << "2(2)"; else { cout << "2("; representAsPowerOfTwo(i); // 递归处理指数部分 cout << ")"; } } } } int main() { int num; cin >> num; representAsPowerOfTwo(num); return 0; } ``` - 说明：此代码基于引用[2][^2] 和 [5][^5]，通过位运算 `(n >> i) & 1` 提取二进制位，递归处理嵌套指数。输入6时输出 "2+2(2)"，表示 $2^1 + 2^2$。 选择思路：此方法适用于需要可读输出的场景（如数学表达式生成），但仅针对2的幂次方；可扩展为其他底数。 ### 4. **思路对比与选择建议** - **幂值计算 vs. 幂次方表示**： - 计算幂值（$x^n$）：优先用快速幂算法（递归或迭代），关注数值效率[^3]。 - 幂次方表示：用递归位运算，关注字符串输出[^2][^4][^5]。 - **性能注意事项**： - 快速幂的时间复杂度为 $O(\log n)$，空间复杂度递归为 $O(\log n)$（调用栈），迭代为 $O(1)$。 - 位运算在幂次方表示中同样高效，但需注意递归深度（大 $n$ 可能导致栈溢出）。 - **实际应用**：参考引用[1]，幂运算在金融复利或物理模型中是基础；幂次方表示常用于算法教学或二进制转换[^1][^2]。 ### 5. **相关问题** 基于以上内容，以下是您可能感兴趣的扩展问题： 1. 递归快速幂算法在处理大指数时如何避免栈溢出？可以讨论迭代优化或尾递归技术[^3]。 2. C++标准库中的`std::pow`函数内部是如何实现的？有哪些性能局限？[^1] 3. 如何扩展幂次方表示算法以支持任意底数（如3的幂次方）？[^4][^5] 4. 快速幂算法在加密算法（如RSA）中的应用有哪些？[^1][^3] 如果您有具体场景（如计算浮点幂或优化代码），请提供更多细节，我可以给出更针对性的示例或分析。
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