bzoj1426/洛谷P4550 收集邮票

litble

于 2019-01-13 18:43:48 发布

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分类专栏：概率与期望文章标签：期望 DP

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本文通过逆推法分析了邮票收集问题，详细解释了如何计算在已收集到特定种类邮票的情况下，期望还需要购买多少次才能收集完整套邮票的方法。同时，文章还探讨了在这一过程中，预期花费的总金额的计算方式。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目分析

期望的通常套路是逆推。

设 $f (i)$ 表示当前手头已经有 $i$ 种邮票的情况下，收集满邮票期望要买多少次。那么 $f(i)=inf(i)+n−inf(i+1)+1f(i)=\frac{i}{n} f(i)+\frac{n-i}{n} f(i+1)+1$ ，即 $f(i)=f(i+1)+nn−if(i)=f(i+1)+\frac{n}{n-i}$

设 $g (i)$ 表示当前手头已经有 $i$ 种邮票的情况下，买的第一张价格为 $1$ ，第二张价格为 $2$ ，以此类推，期望要花多少钱。那么我做完“买邮票”这个操作后，到达的新状态下，继续决策买的邮票的价格都会加1，算总共加的期望，可以得到式子：

$g(i)=in(g(i)+f(i))+n−in(g(i+1)+f(i+1))+1g(i)=\frac{i}{n} (g(i)+f(i)) + \frac{n-i}{n} (g(i+1)+f(i+1))+1$

即：

$g(i)=in−if(i)+g(i+1)+f(i+1)+nn−ig(i)=\frac{i}{n-i} f(i)+g(i+1)+f(i+1)+\frac{n}{n-i}$

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define RI register int
typedef double db;
const int N=10005;
int n;db f[N],g[N];
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(RI i=n-1;i>=0;--i) f[i]=f[i+1]+(db)n/(db)(n-i);
	for(RI i=n-1;i>=0;--i)
		g[i]=g[i+1]+f[i+1]+(db)i/(db)(n-i)*f[i]+(db)n/(db)(n-i);
	printf("%.2lf\n",g[0]);
	return 0;
}