向量运算与几何应用-优快云博客

感谢boshi和Dimitry大佬！！！您们tql！！！

向量的基本操作

加减

几何意义：满足平行四边形法则

代数意义： $a⃗±b⃗=(xa±xb,ya±yb,...)\vec a \pm \vec b=(x_a \pm x_b,y_a \pm y_b,...)$

点乘

几何意义： $a⃗\vec a$ 在 $b⃗\vec b$ 上的投影与 $∣b⃗∣|\vec b|$ 的乘积。

代数意义： $a⃗⋅b⃗=(xaxb,yayb,...)\vec a \cdot \vec b= (x_ax_b,y_ay_b,...)$

叉乘

几何意义：

除了二维情况下叉乘是假的（表示两向量所成平行四边形的有向面积）以外， $k$ 维下必须有 $k + 1$ 个向量一起叉乘，叉积是一个和它们都垂直的向量。

代数意义：

$a⃗×b⃗=∣i^j^k^⋯xayaza⋯xbybzb⋯xcyczc⋯⋮⋮⋮⋱∣ \vec a \times \vec b= \left| \begin{matrix} \widehat{i} & \widehat{j} & \widehat{k} & \cdots \\ x_a & y_a & z_a & \cdots \\ x_b & y_b & z_b & \cdots \\ x_c & y_c & z_c & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{matrix} \right|$

混合积

这里主要提一下三维，其实我们说的二维叉积更像混合积的说……

三维下求三个向量所成平行六面体的有向面积，方向遵循右手定则。

$\vec{a},\vec{b},\vec{c} ]= \left| \begin{matrix} x_a & y_a & z_a \\ x_b & y_b & z_b \\ x_c & y_c & z_c \\ \end{matrix} \right|$

旋转

将向量逆时针旋转 $θ\theta$ ：

$rotate(a⃗,θ)=(xcos⁡θ−ysin⁡θ,xsin⁡θ+ycos⁡θ)rotate(\vec a,\theta)=(x \cos{\theta}-y \sin{\theta},x \sin{\theta}+ y \cos{\theta})$

放缩

$\vec a =(kx,ky,...)$

向量表示法

直线

一般用直线上一点 $p$ 和一个方向向量 $v⃗\vec{v}$ 确定： $p⃗+v⃗\vec{p}+\vec{v}$

平面

一般用法向量 $n⃗\vec{n}$ 和平面上一点 $p$ 确定： ${q⃗∣(q⃗−p⃗)⋅n⃗=0}\{ \vec{q}|(\vec{q}-\vec{p}) \cdot \vec{n}=0 \}$

例题

例1

求两直线 $p1⃗+v1⃗\vec{p_1}+\vec{v_1}$ ， $p2⃗+v2⃗\vec{p_2}+\vec{v_2}$ 的交点 $o$

解:设 $o⃗=p2+tv2⃗\vec o=p_2+t \vec{v_2}$ ，又由于 $v1⃗×(p2+tv2⃗−p1⃗)=0\vec{v_1} \times (p_2+t \vec{v_2}-\vec{p_1})=0$ ，所以：

$o⃗=p2⃗+v1⃗×(p1⃗−p2⃗)v1⃗×v2⃗v2⃗\vec{o}=\vec{p_2}+\frac{\vec{v_1} \times (\vec{p_1}-\vec{p_2})}{\vec{v_1} \times \vec{v_2}} \vec{v_2}$

例2

求点 $Q$ 到直线 $p⃗+v⃗\vec{p}+\vec{v}$ 的垂足 $H$ 。

解:设 $H⃗=p⃗+tv⃗\vec H=\vec{p}+t\vec{v}$ ，然后有 $(Q⃗−p⃗−tv⃗)⋅v⃗=0(\vec{Q}-\vec{p}-t\vec{v}) \cdot \vec{v}=0$ ，所以：

$H⃗=p⃗+(Q⃗−P⃗)⋅v⃗∣v⃗∣2v⃗\vec{H}=\vec{p}+\frac{(\vec{Q}-\vec{P}) \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|^2} \vec{v}$

例3

求向量 $v1⃗\vec{v_1}$ 和向量 $v2⃗\vec{v_2}$ 尾部重合后角平分线的方向向量。

解:将两个向量都缩放为单位向量，由于向量加法满足平行四边形法则，所以加起来即可。

例4

已知平面上三点，求这个平面的一个法向量。

解:众所周知叉积是与这个向量都平行的向量，所以叉积一下即可。

例5

求点 $Q$ 到平面 $(p⃗,n⃗)(\vec{p},\vec{n})$ 的距离。

解:其实就是 $P Q$ 在法向量上的投影长度，也就是:

$d=(Q⃗−p⃗)⋅n⃗∣n⃗∣d=\frac{(\vec{Q}-\vec{p}) \cdot \vec{n}}{|\vec{n}|}$

求两圆外公切线切点

	if(c1.r<c2.r) swap(c1,c2);
	point v=c2.o-c1.o;
	db d=dist(c1.o,c2.o),a1=atan2(v.y,v.x),a2=acos((c1.r-c2.r)/d);
	point k1=(point){c1.o.x+cos(a1+a2)*c1.r,c1.o.y+sin(a1+a2)*c1.r};
	point k2=(point){c2.o.x+cos(a1+a2)*c2.r,c2.o.y+sin(a1+a2)*c2.r};
	point k3=(point){c1.o.x+cos(a1-a2)*c1.r,c1.o.y+sin(a1-a2)*c1.r};
	point k4=(point){c2.o.x+cos(a1-a2)*c2.r,c2.o.y+sin(a1-a2)*c2.r};