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最新推荐文章于 2023-03-17 22:19:36 发布

litble

最新推荐文章于 2023-03-17 22:19:36 发布

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分类专栏：动态规划文章标签： dp 分析推理

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本文介绍了一种解决照明系统设计问题的方法，通过合理的灯泡替换策略，在满足照明需求的同时达到最小化系统总成本的目的。文章详细分析了灯泡替换的逻辑，并给出了直观的状态转移方程，最终通过代码实现了解决方案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目大意

有n种灯泡，不同种类的灯泡需要同种电源，同种灯泡只需一个电源。你现在要设计一个照明系统，给出n种灯泡的电压V，电源费用K，一个灯泡的费用C和所需该种灯泡数量L，电压小的灯泡可以被电压大的灯泡代替，求最小花费。

题目分析

由人类的直觉，我们应该把灯泡按照电压从大到小排序，以方便处理。
推理1：一种灯泡要么全部替换为另一种，要么都不换。
证明：
如果将灯泡t全部替换为灯泡i比都不替换优，那么说明：
$k_i+c_i*(l_i+l_t)<k_i+k_t+c_i*l_i+c_t*l_t$
那么 $c_i*l_t<k_t+c_t*l_t$
已经将t都换为i后，如果将部分灯泡换回t的话，还要再买一个电源，花费 $k_t$ ，并且灯泡价格依据式子并不会带来什么优惠。
同理，如果不换更优，那么再换一部分，由于 $c_i*l_t>k_t+c_t*l_t$ ，也不会带来任何优惠。
状态转移：令sum[i]表示电压按照从大到小排序后，灯泡数量前缀和。f[i]表示前i种灯泡处理好的最小价格。
由人类的直觉，我们认为状态转移方程为：
$f[i]=min(f[i],f[j-1]+k_j+(sum[i]-sum[j-1])*c_j) (j \leq i)$
为什么可以直接替换一个区间呢？见推理2.
推理2：状态转移方程正确性证明。
证明：
设 $v_i>v_j>v_t$
如果t被i替换比较优的前提下，j不被t替换更优（即状态转移方程的反例）则：
$k_i+(l_i+l_j+l_t)*c_i>k_i+k_j+(l_i+l_t)*c_i+l_j*c_j$
即： $c_i*l_j>c_j*l_j+k_j$
即： $c_i>c_j$
然而出现这种反例也没关系，因为如果出现如上情况，我们让j到i之间的灯泡全被j替换更优。现在我们证明这一点，则要证:
$k_i+k_j+(l_i+l_t)*c_i+l_j*c_j>k_i+k_j+l_i*c_i+(l_t+l_j)*c_j$
即要证： $l_t*c_i>l_t*c_j$
好吧，那么一定成立。也就是状态转移方程正确性成立。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int read(){
    int q=0;char ch=' ';
    while(ch<'0'||ch>'9')ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9')q=q*10+ch-'0',ch=getchar();
    return q;
}
int n,ans,sum[1005],f[1005];
struct node{int v,k,c,num;}a[1005];
bool cmp(node x,node y){return x.v>y.v;}
int main()
{
    int i,j;
    while(1){
        n=read();if(!n)break;
        for(i=1;i<=n;++i)
            a[i].v=read(),a[i].k=read(),a[i].c=read(),a[i].num=read();
        sort(a+1,a+1+n,cmp);
        for(i=1;i<=n;++i) sum[i]=sum[i-1]+a[i].num;
        for(i=1;i<=n;++i){
            f[i]=1e7;
            for(j=1;j<=i;++j)
                f[i]=min(f[i],f[j-1]+a[j].k+(sum[i]-sum[j-1])*a[j].c);
        }
        printf("%d\n",f[n]);
    }
    return 0;
}