本文详细探讨了空间解析几何与向量代数的相关概念，包括向量的线性运算，如方向角、方向余弦的定义与计算；数量积、向量积和混合积的性质与应用，如判定两向量垂直、共面和计算四面体体积；解析几何部分阐述了曲面、平面的方程，如球面、椭球面、单叶双曲面和双叶双曲面的方程，以及平面方程和空间直线的各类方程形式。
1 向量代数
1.1 向量及其线性运算
1.1.1 方向角与方向余弦
1.1.1.1 定义
非零向量 a⃗ a → 与坐标轴的三个夹角 α、β、γ α 、 β 、 γ 称为向量 a⃗ a → 的方向角。
cosα、cosβ、cosγ c o s α 、 c o s β 、 c o s γ 称为向量 a⃗ a → 的方向余弦。
1.1.1.2 计算法
以向量 a⃗ a → 的方向余弦为坐标的向量就是与 a⃗ a → 同方向的单位向量 e⃗ e → 。
故 cos2α+cos2β+cos2γ=1,ea→=(cosα,cosβ,cosγ) c o s 2 α + c o s 2 β + c o s 2 γ = 1 , e a → = ( c o s α , c o s β , c o s γ ) 。
若 a⃗ =(x,y,z） a → = ( x , y , z ） ，则 cosα=xx2+y2+z2√,cosβ=yx2+y2+z2√,cosγ=zx2+y2+z2√ c o s α = x x 2 + y 2 + z 2 , c o s β = y x 2 + y 2 + z 2 , c o s γ = z x 2 + y 2 + z 2
1.2 数量积 向量积 混合积
1.2.1 数量积
1.2.1.1 定义
a⃗ ⋅b⃗ =|a⃗ |⋅|b⃗ |⋅cosθ a → ⋅ b → = | a → | ⋅ | b → | ⋅ c o s θ
在空间直角坐标系下，若 a⃗ =(x1,y1,z1),b⃗ =(x2,y2,z2) a → = ( x 1 , y 1 , z 1 ) , b → = ( x 2 , y 2 , z 2 ) ，则 a⃗ ⋅b⃗ =x1x2+y1y2+z1z2 a → ⋅ b → = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2
1.2.1.2 用数量积表示向量的模
|a⃗ |=a⃗ ⋅a⃗ −−−−√ | a → | = a → ⋅ a →
1.2.1.3 数量积判定两向量是否垂直
a⃗ ⊥b⃗ ⇔a⃗ ⋅b⃗ ⇔x1x2+y1y2+z1z2=0 a → ⊥ b → ⇔ a → ⋅ b → ⇔ x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 = 0
1.2.2 向量积
1.2.2.1 定义
|a⃗ ×
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