高等数学（下）多元函数微分法及其应用

1 多元函数的基本概念

1.1 极限

1.1.1 定义

设二元函数$f(P) = f(x, y)$的定义域为$D,P_0(x_0, y_0)$是$D$的聚点，

如果存在常数$A$，对于$\forall \epsilon > 0，\exists \delta > 0$使得当点$P(x, y) \in D \cap U(P_0, \delta)$时，

都有$|f(P) - A| = | f(x, y) - A| < \epsilon$ 成立,则称常数$A$为函数$f(x, y)$ 当$(x, y) \to (x_0, y_0)$时的极限，

记做

$${ \lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)} f(x, y) = A}$$

或

$${ \lim_{P \to P_0} f(P) = A}$$

2 偏导数

2.1 偏导数的定义

设函数$z = f(x, y)$在点$(x_0, y_0)$的某一邻域内有定义，当$y$固定在$y_0$而$x$在$x_0$处有增量$\Delta x$时，相应的函数有增量

$$f(x_0+\Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)$$

如果

$$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x}$$

存在，则称此极限为函数$z = f(x, y)$在点$(x_0, y_0)$处对$x$的偏导数记做

∂z∂x|(x=x0,y=y0),∂f∂x|