惯性导航之认识欧拉角

惯性导航中不用到欧拉角是不太可能的，特别是飞控等一些需要用到3轴角度的地方，这一篇写一下这段时间对欧拉角的一些认识。

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工具：

• 欧拉旋转、矩阵运算
• MEMS陀螺仪（微机电陀螺仪）

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开始正文

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一、什么是欧拉角？

欧拉角是用来唯一地确定定点转动明体位置的三个一组独立角参量，由章动角θ、进动角ψ和自转角φ组成，为L.欧拉首先提出,故得名。

欧拉角是一种常用的描述方位的方法。这项技术是著名数学家Leonhard Euler(1707~1783)的名字命名的，他证明了角位移序列等价于单个角位移。

当然看过上面的定义并没有什么作用，这里我们可以这样理解：在一个三维的直角坐标系中，一个任意向量以任意方向做一次旋转，旋转会有角位移，也就是会得到一个旋转角。换种方式，如果用让这个向量做三次旋转（这里旋转的方式不能确定，后面会说）达到相同的效果，这样三步会得到三个旋转角，用这样的方式得到的三个旋转角就是欧拉角。简单点说就是，将一个旋转分解成三次旋转，这样每次的旋转角就是欧拉角。

由于欧拉角的定义太广义，实际中会有比较具体的定义：

• 静态定义：3个欧拉角是与固定轴的夹角，有12中顺规定义（维基百科）
• 动态定义：围绕世界坐标系旋转、围绕载体坐标系旋转

12中顺规：

• 非对称型欧拉角: XYZ，XZY，YXZ，YZX，ZXY，ZYX
• 对称型欧拉角: XYX，XZX，YXY，YZY，ZXZ，ZYZ

其中具体旋转的表示在这里就不详细说了，后面写陀螺仪部分的时候会详细讲解其中的几种，我们使用的是动态定义。

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二、为什么我们使用欧拉角？

如果使用过陀螺仪，就会很清楚的知道，三轴陀螺仪返回来的数据是三个轴上的角速度，经过积分之后我们就会得到3个角度（欧拉角），这三个角度分别是围绕着载体坐标系旋转的，所以这样是属于上面欧拉角定义中动态定义的第二种，不过我们这样直接得到的欧拉角并没有什么限制，是存在很大的问题的。关于欧拉角的限制会在后面的文章中详细说明。

我们使用的是一种飞控中常用的欧拉角系统——“Yaw- Pitch - Roll（或者叫’heading-pitch-bank‘）”系统，这样可以比较直观方便的表示载体（比如飞行器）的姿态：

• Yaw（俯仰角）：绕陀螺仪X轴旋转；
• Pitch（偏航角）：绕陀螺仪Z轴旋转；
• Roll（翻滚角）：绕陀螺仪Y轴旋转；

这样就得到了三个欧拉角，并且可以很方便直观的表示载体的旋转了。

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三、为什么我们不使用欧拉角？

那我们到底用不用欧拉角呢？用，但是只是使用了一部分。

我们已经知道MEMS陀螺仪会返回给我们三个角速度，既然是角速度，那么我们就需要积分得到角度，主要有下面几种积分方法：

• 直接用角速度对时间积分
• 欧拉角积分
• 四元数积分
• 方向余弦积分

我们使用的是四元数积分，四元数的具体内容在后面说。先说一下为什么使用四元数积分。

直接积分会有很大的问题，得到的三个角度并不完全正确，具体原因与欧拉角的缺陷有关，后面说。这种积分适用于只对平面，也就是只绕一个轴旋转，这样不会出现相互干扰。

欧拉角的好处有很多，比如非常直观的表示旋转，但是它也有比较麻烦的缺点——万向节死锁（后面细讲），以及进行欧拉角的计算涉及大量的三角运算，计算代价比较大。

方向余弦积分需要的运算量更大，不适合惯导系统的实时性要求。

四元数积分既没有‘万向节死锁’，又计算量小，是比较理性的积分方法，我们采用这种方法。

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边学边更，后面的理解起来会更加复杂，…….