惯性导航原理之姿态算法-四元数&欧拉角&等效转动矢量

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#四元数乘积 #四元数和欧拉角关系 #等效转动矢量 #姿态算法 #惯性导航原理

四元数乘积的三种表达形式，并推导其矢量形式  





四元数和欧拉角之间的表达式  



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在IMU六轴姿态解算中，四元数和欧拉角是两种常用的方式来表示物体的姿态。它们各自具有不同的优势和应用场景。以下将从原理和实现方法两个方面来分析四元数与欧拉角的转换。 ### 四元数与欧拉角的转换原理 四元数是一种扩展复数的形式，通常表示为 $ q = q_0 + q_1i + q_2j + q_3k $，其中 $ q_0, q_1, q_2, q_3 $ 是实数，$ i, j, k $ 是虚数单位。四元数在姿态解算中可以避免万向节死锁的问题，并且适合进行插值和旋转组合。 欧拉角是通过三个角度（通常为滚转角 $ \phi $、俯仰角 $ \theta $、偏航角 $ \psi $）来描述物体相对于参考坐标系的旋转。欧拉角直观且易于理解，但在某些特定角度组合下可能会出现万向节死锁问题。 四元数到欧拉角的转换可以通过方向余弦矩阵（方向矩阵）来实现。方向余弦矩阵 $ R $ 可以将一个向量从一个坐标系变换到另一个坐标系。给定一个四元数 $ q = [q_0, q_1, q_2, q_3] $，其对应的方向余弦矩阵 $ R $ 为： $$ R = \begin{bmatrix} q_0^2 + q_1^2 - q_2^2 - q_3^2 & 2(q_1q_2 - q_0q_3) & 2(q_1q_3 + q_0q_2) \\ 2(q_1q_2 + q_0q_3) & q_0^2 - q_1^2 + q_2^2 - q_3^2 & 2(q_2q_3 - q_0q_1) \\ 2(q_1q_3 - q_0q_2) & 2(q_2q_3 + q_0q_1) & q_0^2 - q_1^2 - q_2^2 + q_3^2 \end{bmatrix} $$ 通过该方向余弦矩阵，可以提取出欧拉角： - 滚转角（Roll）：$ \phi = \arctan2(R_{32}, R_{33}) $ - 俯仰角（Pitch）：$ \theta = \arcsin(-R_{31}) $ - 偏航角（Yaw）：$ \psi = \arctan2(R_{21}, R_{11}) $ ### 四元数与欧拉角的转换实现方法 在IMU六轴姿态解算中，四元数通常是通过传感器数据（如陀螺仪、加速度计）经过滤波算法（如Mahony算法或Madgwick算法）计算得到的。然后，可以通过上述公式将四元数转换为欧拉角。 以下是一个简单的四元数转换为欧拉角的实现方法（使用Python）： ```python import math def quaternion_to_euler(q0, q1, q2, q3): # 计算方向余弦矩阵 R11 = q0**2 + q1**2 - q2**2 - q3**2 R12 = 2 * (q1*q2 - q0*q3) R13 = 2 * (q1*q3 + q0*q2) R21 = 2 * (q1*q2 + q0*q3) R22 = q0**2 - q1**2 + q2**2 - q3**2 R23 = 2 * (q2*q3 - q0*q1) R31 = 2 * (q1*q3 - q0*q2) R32 = 2 * (q2*q3 + q0*q1) R33 = q0**2 - q1**2 - q2**2 + q3**2 # 提取欧拉角 roll = math.atan2(R32, R33) pitch = math.asin(-R31) yaw = math.atan2(R21, R11) return math.degrees(roll), math.degrees(pitch), math.degrees(yaw) # 示例四元数 q0, q1, q2, q3 = 1, 0, 0, 0 roll, pitch, yaw = quaternion_to_euler(q0, q1, q2, q3) print(f"Roll: {roll}, Pitch: {pitch}, Yaw: {yaw}") ``` 在实际应用中，四元数通常由IMU传感器通过滤波算法实时计算得到，然后通过上述方法转换为欧拉角，以便于直观地表示物体的姿态。 ###
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