四元数一般定义如

发表于： 2011-08-06 13:47:39

网上讨论四元素法表示转动的文章不少，但似乎总不能讲清楚。例如在优快云上有

http://blog.youkuaiyun.com/pizi0475/article/details/6261679

其中谈到：



四元数一般定义如下：

q=w+xi+yj+zk

其中w是实数，x,y,z是虚数，其中:

i*i=-1

j*j=-1

k*k=-1

也可以表示为：

q=[w,v]

其中v=(x,y,z)是矢量，w是标量，虽然v是矢量，但不能简单的理解为3D空间的矢量，它是4维空间中的的矢量，也是非常不容易想像的。

四元数也是可以归一化的，并且只有单位化的四元数才用来描述旋转（面向），四元数的单位化与Vector类似，

首先||q|| = Norm(q)=sqrt(w2 + x2 + y2 + z2)

因为w2 + x2 + y2 + z2=1

所以Normlize(q)=q/Norm(q)=q / sqrt(w2 + x2 + y2 + z2)

说了这么多，那么四元数与旋转到底有什么关系？我以前一直认为轴、角的描述就是四元数，如果是那样其与旋转的关系也不言而喻，但并不是这么简单，轴、角描述到四元数的转化：

w = cos(theta/2)

x = ax * sin(theta/2)

y = ay * sin(theta/2)

z = az * sin(theta/2)

其中(ax,ay,az)表示轴的矢量，theta表示绕此轴的旋转角度，为什么是这样？和轴、角描述到底有什么不同？这是因为轴角描述的“四元组”并不是一个空间下的东西，首先（ax,ay,az）是一个3维坐标下的矢量，而theta则是级坐标下的角度，简单的将他们组合到一起并不能保证他们插值结果的稳定性，因为他们无法归一化，所以不能保证最终插值后得到的矢量长度（经过旋转变换后两点之间的距离）相等，而四元数在是在一个统一的4维空间中，方便归一化来插值，又能方便的得到轴、角这样用于3D图像的信息数据，所以用四元数再合适不过了。

我看不懂后面一段的意思，也不知道为什么不用theta全角，而用theta/2？

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