通俗易懂四元数

基本概念

定义

四元数是由实部和虚部组成的扩展复数。一个四元数可以表示为 $q=a+bi+cj+dk$，其中 $w$ 是实部，$(xi,yj,zk)$ 是虚部。他的共轭值定义为：
$$q^{\ast }=a-bi-cj-dk$$
它的绝对值则是非负实数定义为
$$|h|=\sqrt{q{q}^{\ast }}=\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}$$

四元数与空间旋转

单位四元数（绝对值为1的四元数）可以用于表示三维空间里的旋转

四元数表示三维空间里的点（纯四元数）

若三维空间里的一个点的笛卡尔坐标为 $(x,y,z)$，则它用纯四元数（类似于纯虚数，即实部为0的四元数）$xi+yj+zk$ 表示。

四元数表达旋转

四元数 $q$ 可以表示为 $q=cos(\theta /2)+u\ast sin(\theta /2)$，其中 $\theta$ 是旋转角度，$u=(x,y,z)$ 是单位旋转轴向量。

例如，假设我们要绕单位向量 $u=(0,0,1)$ 旋转 90 度,构造四元数为 $q=cos(\pi /4)+(0i+0j+1k)\ast sin(\pi /4)$。

单位四元数表示一个三维空间旋转

设 $q$ 为一个单位四元数，而 $p$ 是一个纯四元数，定义旋转公式为

$$p^{\prime }=qp{q}^{-1}$$

$v^{\prime }$ 也是一个纯四元数。这个旋转将空间的点 $p$ 旋转为空间的另一个点 $p^{\prime }$。具体计算参考 四元数乘法计算

旋转操作的复合

下式表示将向量/点先旋转${\theta }_1$再旋转 ${\theta }_2$度。
$$p_{21}=(q_1{q}_2)p(q_1{q}_2{)}^{-1}=q_1{q}_{2}p{q}_2^{-1}{q}_1^{-1}=q_1(q_{2}p{q}_2^{-1})q_1^{-1}$$

四元数与旋转矩阵

(3分钟说明白)欧拉角、四元数和旋转矩阵之间的关系

关于位姿变换的库已经很成熟我们用不着自己写，但是要注意不同的库对四元数的表达形式不同，例如

在这里插入代码片