23、线性化可压缩流：理论与应用解析

线性化可压缩流：理论与应用解析

1. 引言

在空气动力学的研究中，可压缩流的理论发展为我们理解高速飞行提供了重要的基础。尽管在热力学方面存在一定的简化，但相关理论已足以将空气动力学的理论框架拓展到远超音速的速度范围。空气动力学的两大支柱是质量守恒和动量守恒，在理想理论中，这分别表现为速度的无散度和无旋性。对于理想流动，势函数由质量守恒定律决定，进而导出拉普拉斯方程。当考虑可压缩性时，连续性方程的推广形式不再假设密度均匀，我们将在后续探讨如何求解这个广义连续性方程。

2. 势函数方程的非线性

可压缩性引入后，连续性方程与不可压缩情况的最大区别在于其非线性。不可压缩情况下的连续性方程（如方程 (9.10)）是线性的，而可压缩情况下的完整连续性方程 (18.3) 是非线性的。线性算子具有可加性，即对于线性算子 (L)，若 (\varphi_1) 和 (\varphi_2) 是操作数，(k_1) 和 (k_2) 是常数，则 (L(k_1\varphi_1 + k_2\varphi_2) = k_1L\varphi_1 + k_2L\varphi_2)。因此，若 (\varphi_1) 和 (\varphi_2) 是线性方程 (L\varphi = 0) 的解，那么它们的线性组合也是该方程的解。然而，对于非线性的可压缩势函数方程 (18.3)，尝试用线性组合替代势函数会因方程中的三重积以及与速度相关的音速方程 (18.12) 而失败。这种线性的丧失对分析造成了很大的阻碍，但在薄翼近似的重要情况下，线性可以恢复。

3. 自由流的小扰动

当机翼对自由流的扰动较小时，整个流场中空气的性质可能接近自由流的值。尽管这是对所有可能可压缩流范围的一个严格限