27、基于多向数据分析的体数据分类及图致密化研究

基于多向数据分析的体数据分类及图致密化研究

在当今的数据分析领域，体数据的处理和分析以及图数据的有效利用是两个重要的研究方向。体数据分类有助于从复杂的三维数据中提取有价值的信息，而图致密化则能解决大规模图数据稀疏性带来的问题。下面将详细介绍体数据分类和图致密化的相关方法和实验结果。

体数据分类方法

在体数据分类中，主要采用了多线性张量子空间方法（TSM），并结合了三维离散余弦变换（3D - DCT）和张量主成分分析（TPCA）等技术。
1. 3D - DCT 降维
- 对于一组三阶张量 ${X_i} {i = 1}^{N}$，其中 $X_i \in R^{n×n×n}$，通过设置 DCT 矩阵 $D \in R^{n×n}$ 和投影矩阵 $P^{(1)} \in R^{k_1×n}$，$P^{(2)} \in R^{k_2×n}$，$P^{(3)} \in R^{k_3×n}$（$k_1, k_2, k_3 < n$），定义基于 3D - DCT 的降维公式为：
$\hat{X}_i = X_i ×_1 (P^{(1)}D) ×_2 (P^{(2)}D) ×_3 (P^{(3)}D)$
- 这种降维方法是主成分分析（PCA）、张量主成分分析（TPCA）和高阶奇异值分解（HOSVD）压缩的可接受近似。若对每个模式的张量投影计算 3D - DCT 应用快速傅里叶变换，其计算复杂度为 $O(n log n)$。
2. 多线性张量子空间分类
- 对于三阶张量 $X$，设 $U^{(j)}$（$j = 1, 2, 3$）为正交矩阵，定义操作 $Y = X ×_