21、图熵与图致密化方法研究

图熵与图致密化方法研究

1. 图熵实验

在图分析领域，我们希望通过一些方法来区分结构不同的图。下面将介绍相关的实验内容。

1.1 随机图实验

我们使用三种不同的模型来生成随机图：
- Erdős - Rényi 模型（ER） ：一个 ER 图 $G(n, p)$ 是通过以概率 $p$ 随机连接 $n$ 个顶点构建的。即每条边以概率 $p$ 独立地包含在图中，这类模型也被称为随机网络。
- Watts 和 Strogatz 模型（WS） ：一个 WS 图 $G(n, k, p)$ 的构建过程如下。首先构建一个规则的环形晶格，这是一个有 $n$ 个顶点的图，每个顶点连接到 $k$ 个最近的顶点，每侧 $k/2$ 个。然后对于每个顶点的每条边，以概率 $p$ 进行重连，这类模型也被称为小世界网络。
- Barabási - Albert 模型（BA） ：一个 BA 图 $G(n, n_0, m)$ 是从一个有 $n_0$ 个顶点的初始完全连通图开始构建的。新顶点逐个添加到图中，每个新顶点以与现有节点已有的链接数量成比例的概率连接到 $m$ 个先前的顶点，这类模型也被称为无标度网络。

我们为每个模型生成了 200 个图，顶点数 $n$ 从 21 到 220。参数的选择使得具有相同顶点数的图大致有相同数量的边。对于 ER 图，我们选择 $p = 15/n$；对于 WS 图，选择 $k = 16$ 和 $p = 0.25$；对于 BA 图，选择 $n_0 = 9$ 和 $k = 8$。

接下来，我们使用随机