6、张量子空间方法与时间演化网络的热力学表征

张量子空间方法与时间演化网络的热力学表征

在当今的科学研究中，模式识别和复杂系统分析是两个重要的领域。模式识别旨在从数据中提取有意义的信息，而复杂系统分析则关注于理解和描述复杂系统的行为。本文将介绍张量子空间方法在模式识别中的应用，以及基于热力学框架对时间演化网络进行表征的新方法。

张量子空间方法

在模式识别中，传统的向量空间方法在处理高维数据时存在一定的局限性。张量子空间方法通过使用张量表达式和多向主成分分析，将数据处理统一到更高维的空间中。

• 离散余弦变换（DCT）降维 ：对于张量 $\mathcal{X} = ((x_{ijk}))$ 在 $R^{I×I×I}$ 中，当 $n = 1, 2, 3, 4$ 时，分别有 $N = 1, 4, 10, 20$。由于离散余弦变换（DCT）与从一阶马尔可夫模型观察到的数据的 K - L 变换矩阵渐近等价，因此可以使用 DCT 进行主成分分析（PCA）的降维。具体公式如下：
• $f_{ijk}^n = \sum_{i’j’k’ = 0}^{n - 1} g_{i’j’k’}\phi_{i’i}\phi_{j’j}\phi_{k’k}$

• $g_{ijk} = \sum_{i’j’k’ = 0}^{N - 1} f_{i’j’k’}\phi_{ii’}\phi_{jj’}\phi_{kk’}$
  其中，$\Phi(N) = ((\epsilon \cos\frac{(2j + 1)i}{2\pi N})) = ((\phi_{ij}))$，$\epsilon = \begin{cases}1, & j = 0 \ \frac{1}