18、汉诺塔与伦敦塔谜题的变体探索

汉诺塔与伦敦塔谜题的变体探索

1. 谜题变体概述

在谜题的世界里，经典的汉诺塔问题有许多有趣的变体。其中一个变体规定圆盘不能放在同色圆盘上。Minsker 提出了经典递归算法的自然扩展“Procedure Rainbow”，该方法总能解决问题，但不一定是最优解，还有更复杂的方法可找到最优解。特别地，当初始配置的圆盘交替用 m 种颜色着色时，对于 m = 3，“Procedure Rainbow”被证明是最优的，并且有人猜想对于任何奇数 m ≥ 5 也成立，但此猜想仍未得到证实。

2. 瓶颈汉诺塔问题

2.1 问题描述

改变汉诺塔规则的一种合理方式是放宽神的规则。考虑标准的三根柱子和编号为 1 到 n 的圆盘设置，设 t ≥ 1 为固定整数，即谜题的差异值。当某个柱子的顶部圆盘 d 满足对于柱子 j 上的任何圆盘 d′都有 d - d′ < t 时，圆盘 d 可以移动到柱子 j 上。当 t = 1 时，这就是通常的神的规则；而对于每个固定的 t ≥ 2，会得到一个新的谜题。

这些谜题由 Wood 在 1981 年引入，他还提出了确定任意差异值 t 和任意圆盘数量 n 下最小移动次数的问题。1992 年，Poole 将这些谜题命名为瓶颈汉诺塔（Bottleneck Tower of Hanoi，简称 BTH），并提供了解决方案和使用最少移动次数的算法。

2.2 算法思路

算法的主要思想与经典汉诺塔递归解法类似，先将最小的 n - 1 个圆盘移动到辅助柱，然后将圆盘 n 移动到目标柱，最后将最小的 n - 1 个圆盘从辅助柱移动到目标柱。在移动最小的 n - 1 个圆盘时，应尽可能利用差异