16、多杆汉诺塔问题的数值结果与最大圆盘移动情况

多杆汉诺塔问题的数值结果与最大圆盘移动情况

1. 汉诺塔图直径相关结论

对于有超过三根杆的汉诺塔P2类型任务，已知的数学可证明陈述非常少，尤其是关于汉诺塔图 (H_n^p) 的直径。目前最好的一般结果是：
- 命题5.36 ：对于所有 (p \geq 3) 和 (n \in N_0)，有 (diam(H_n^p) \leq 2^n - 1)。
- 证明 ：通过对 (n) 进行归纳。在归纳步骤中，我们可以选择状态 (i_s) 和 (j_t) 之间的一条特殊路径，即经过 (i_k^n) 和 (j_k^n)，其中 (k \in [p]_0) 且 (i \neq k \neq j)。根据引理5.17，这条路径的长度为 (d(s, k^n) + 1 + d(t, k^n))，由归纳假设可知，该长度小于或等于 (2^{n + 1} - 1)。

虽然对于 (p = 3)，命题5.36中的上界无法改进，但数值结果表明，与谢尔宾斯基图的情况相比，对于一般的 (p)，这个上界很不理想，特别是对于较小的 (n)，有以下定理：
- 定理5.37 ：对于所有 (p \geq 3) 和 (n \in [p - 1])，有 (diam(H_n^p) = 2^n - 1)。
- 直径 (diam(H_n^p)) 的下界可由命题5.20之前的备注得出，而上界是以下命题的直接结果。
- 命题5.38 ：设 (s, t \in [p] 0^n)，(p \geq 3)，(n \in [p - 1])。那么在 (H_n^p) 中存在