13、分形图与多 peg 汉诺塔问题深度解析

分形图与多 peg 汉诺塔问题深度解析

1. Sierpiński 图与拓扑学的联系

Sierpiński 图与拓扑学有着紧密的联系。从 Sierpiński 三角形入手，它也被称为三角 Sierpiński 曲线 Σ(3)，可形式化为平面 R² 的一个子集。对于平面 R² 中顶点为 e0、e1、e2 的三角形 Σ，定义了以 e0、e1、e2 为中心，系数为 1/2 的位似变换 ϕ1、ϕ2、ϕ3。经过 m 次移除中间开放三角形后得到的集合 Σm 可表示为：
[
\Sigma_m = \bigcup_{(\lambda_1, \cdots, \lambda_m) \in \Lambda^m} \phi_{\lambda_1} \circ \cdots \circ \phi_{\lambda_m} \Sigma
]
其中 Λ = {0, 1, 2} = T。三角 Sierpiński 曲线 Σ(3) 则是所有这些集合的交集：
[
\Sigma(3) = \bigcap_{m \in \mathbb{N}} \Sigma_m
]
在分形理论中，{ϕ0, ϕ1, ϕ2} 被称为迭代函数系统，Σ(3) 是其吸引子。将其映射为图时，三角形作为顶点，有公共点的三角形对之间有连边，从而得到 Sierpiński 图 S0₃、S1₃、S2₃ 和 S3₃。

对于点 x = (x0, x1, x2) ∈ R³，有定理表明 x ∈ Σ(3) 当且仅当存在序列 (λk)k∈N ∈ T N，使得对于每个 i ∈ T，有：
[
x_i = \sum_{k = 1}^{\infty} (\lambda_k = i) \cdot 2^