3、数学谜题中的图论奥秘

数学谜题中的图论奥秘

1. 谢尔宾斯基三角形与图论引入

谢尔宾斯基三角形（ST）是一个极具魅力的数学对象，也是分形的原型之一。它有多种构造方式，其中一种是依次添加三角形的边界线，并取平面上这些点集的闭包。从构造过程可以看出，ST具有自相似性，即它的三个子三角形与整个图形具有相同的数学结构，只是长度缩小为原来的1/2，“面积”缩小为原来的1/3。这里的“面积”需要用测度的概念精确描述，ST的豪斯多夫维数为ln(3)/ln(2)。

为了理解它与某些问题的关系，我们需要引入图论的概念。在早期，谜题就与图的数学概念相关联，著名的哥尼斯堡七桥问题被认为是图论的起源。

2. 哥尼斯堡七桥问题

2.1 问题描述

古老的普鲁士城市哥尼斯堡有七座桥连接着被普雷格尔河隔开的四个区域。人们想知道是否能进行一次散步，恰好经过每座桥一次，甚至回到起点。

2.2 数学抽象

用现代术语来说，这个问题就是在一个多重图中寻找一条（封闭的）欧拉路径，即包含该多重图所有实线的路径。图中的顶点用点表示，边用连接顶点的线表示。例如，边c = {B, C} 代表连接由顶点B和C表示的哥尼斯堡区域的一座桥；A和B之间有多重边a和b。

2.3 欧拉路径存在条件

显然，只有当（多重）图中恰好有两个奇数度顶点，或者如果路径是封闭的则没有奇数度顶点时，才可能找到欧拉路径。这是因为除了起点和终点外，每个顶点进入和离开的次数必须相同。

2.4 欧拉的研究

欧拉在1735年解决了这个问题，答案是否定的，并且他用数学论证证明了这一点。后来，欧拉在给G. Marin