29、模式上函数依赖的蕴含与公理化研究

模式上函数依赖的蕴含与公理化研究

1. 函数依赖基础

函数依赖是数据库理论中的重要概念，我们假设大家熟悉Codd提出的函数依赖。对于关系模式 $R = (A_1, \ldots, A_n)$ 上的函数依赖 $C = L →R$（其中 $L, R ⊆{A_1, \ldots, A_n}$），存在对应的函数约束 $C_{fc} = ({(A_1, \ldots, A_n)}, L →R)$，且 $C ≡C_{fc}$。

Armstrong公理为函数依赖提供了公理化体系，包括自反性、增广性和传递性。下面对这些公理在函数约束场景下进行推广：
- 自反性（Proposition 3） ：设 $P$ 为模式，若 $R ⊆L ⊆V_P$，则 $(P, L →R)$。证明思路是，对于 $P$ 到关系 $R$ 的嵌入 $e_1$ 和 $e_2$，若 $e_1 = L e_2$，由于 $R ⊆L$，所以 $e_1 =_R e_2$。
- 增广性（Proposition 4） ：若 $(P, L →R)$ 且 $V ⊆V_P$，则 $(P, L ∪ V →R ∪ V)$。证明时，设 $e_1$ 和 $e_2$ 是满足 $(P, L →R)$ 的嵌入，若 $e_1 = {L∪V} e_2$，则 $e_1 = L e_2$ 且 $e_1 =_V e_2$，由 $(P, L →R)$ 可得 $e_1 =_R e_2$，进而 $e_1 = {R∪V} e_2$。
- 传递性（Proposition 5） ：若 $(P, V_1 →V_2)$ 且