14、链图与模型等价性的深入解析

链图与模型等价性的深入解析

1. 链图的基本概念

链图是一类被广泛研究的图形对象，用于表示变量之间存在“对称关联”的情况。它的特点是既可以包含有向边，也可以包含无向边，但不能有部分有向的循环。也就是说，不存在这样的情况：有一系列 (n) 条不同的边，端点为 (X_1, X_{n + 1})，且 (X_1 = X_{n + 1})，对于所有 (1 \leq i < n + 1)，要么 (X_i — X_{i + 1})，要么 (X_i → X_{i + 1})，并且存在某个 (1 \leq j < n + 1)，使得 (X_j → X_{j + 1})。

1.1 链图的马尔可夫条件

针对链图，有两种不同的马尔可夫条件被提出：
- Lauritzen - Wermuth - Frydenberg（LWF）马尔可夫条件 ：由 Lauritzen、Wermuth 和 Frydenberg 提出。
- Andersson - Madigan - Perlman（AMP）马尔可夫条件 ：由 Andersson、Madigan 和 Perlman 提出。

这两个条件并不等价，但对于无向图，它们都归结为分离；对于有向无环图（DAG），它们都归结为 d - 分离。判断链图是否蕴含条件独立关系 (X \perp Z|Y) 分两步进行：
1. 将链图与一个无向图关联起来。
2. 如果在关联的无向图中，(X) 被 (Y) 从 (Z) 中分离出来，那么链图就蕴含 (X \perp Z|Y)。

不过，这两种方法构造的无向图在分离性质上有所