【11.2】数学思维-解两个盒子中球的颜色数相同的概率

原创已于 2025-05-25 20:09:05 修改 · 1k 阅读

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#数据结构 #c++ #算法 #c语言

于 2025-02-12 11:26:29 首次发布

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一、题目

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一、题目

桌面上有 2n 个颜色不完全相同的球，球的颜色共有 k 种。给你一个大小为 k 的整数数组 balls ，其中 balls[i] 是颜色为 i 的球的数量。

所有的球都已经 随机打乱顺序 ，前 n 个球放入第一个盒子，后 n 个球放入另一个盒子（请认真阅读示例 2 的解释部分）。

注意：这两个盒子是不同的。例如，两个球颜色分别为 a 和 b，盒子分别为 [] 和 ()，那么 [a] (b) 和 [b] (a) 这两种分配方式是不同的（请认真阅读示例的解释部分）。

请返回「两个盒子中球的颜色数相同」的情况的概率。答案与真实值误差在 10-5 以内，则被视为正确答案

示例 1：

输入：balls = [1,1]
输出：1.00000
解释：球平均分配的方式只有两种：
- 颜色为 1 的球放入第一个盒子，颜色为 2 的球放入第二个盒子
- 颜色为 2 的球放入第一个盒子，颜色为 1 的球放入第二个盒子
这两种分配，两个盒子中球的颜色数都相同。所以概率为 2/2 = 1 。

示例 2：

输入：balls = [2,1,1]
输出：0.66667
解释：球的列表为 [1, 1, 2, 3]
随机打乱，得到 12 种等概率的不同打乱方案，每种方案概率为 1/12 ：
[1,1 / 2,3], [1,1 / 3,2], [1,2 / 1,3], [1,2 / 3,1], [1,3 / 1,2], [1,3 / 2,1], [2,1 / 1,3], [2,1 / 3,1], [2,3 / 1,1], [3,1 / 1,2], [3,1 / 2,1], [3,2 / 1,1]
然后，我们将前两个球放入第一个盒子，后两个球放入第二个盒子。
这 12 种可能的随机打乱方式中的 8 种满足「两个盒子中球的颜色数相同」。
概率 = 8/12 = 0.66667

示例 3：

输入：balls = [1,2,1,2]
输出：0.60000
解释：球的列表为 [1, 2, 2, 3, 4, 4]。要想显示所有 180 种随机打乱方案是很难的，但只检查「两个盒子中球的颜色数相同」的 108 种情况是比较容易的。
概率 = 108 / 180 = 0.6 。

提示：

1 <= balls.length <= 8
1 <= balls[i] <= 6
sum(balls) 是偶数

二、解题思路

这个问题可以通过组合数学和概率论来解决。我们需要计算所有可能的分配方式中，满足两个盒子中球的颜色数相同的分配方式所占的比例。

1. **总分配方式**：首先，我们需要计算所有可能的分配方式的总数。由于有 `2n` 个球，其中每种颜色的球有 `balls[i]` 个，总分配方式数为所有球的多重排列数，推导过程如下：

2. **满足条件的分配方式**：我们需要计算满足两个盒子中球的颜色数相同的分配方式数。对于每种颜色 `i`，我们需要将其分配到两个盒子中，使得两个盒子中该颜色的球数相等（如果 `balls[i]` 是偶数）或者相差1（如果 `balls[i]` 是奇数）。对于每种颜色，我们可以计算其分配到两个盒子中的方式数，然后将所有颜色的方式数相乘，得到总的满足条件的分配方式数。

3. **概率计算**：最后，我们将满足条件的分配方式数除以总分配方式数，得到概率。

三、代码实现

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <algorithm>

using namespace std;

// 计算阶乘
double factorial(int n) {
    double result = 1.0;
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        result *= i; // 累乘计算阶乘
    }
    return result;
}

// 计算组合数 C(n, k)
double combination(int n, int k) {
    if (k > n - k) k = n - k; // 利用组合数的对称性 C(n, k) = C(n, n-k)，减少计算量
    double result = 1.0;
    for (int i = 0; i < k; ++i) {
        result *= (n - i); // 计算分子 n * (n-1) * ... * (n-k+1)
        result /= (i + 1); // 计算分母 k!
    }
    return result;
}

// 计算满足条件的分配方式数
double countValidWays(const vector<int>& balls, int n, int k) {
    double validWays = 1.0;
    for (int i = 0; i < k; ++i) {
        int ballCount = balls[i]; // 当前颜色的球的数量
        if (ballCount % 2 == 0) {
            // 如果当前颜色的球数是偶数，则将其平分到两个盒子中
            validWays *= combination(ballCount, ballCount / 2);
        } else {
            // 如果当前颜色的球数是奇数，则有两种分配方式：
            // 1. 一个盒子比另一个盒子多一个球
            // 2. 另一个盒子比这个盒子多一个球
            validWays *= combination(ballCount, ballCount / 2) + combination(ballCount, ballCount / 2 + 1);
        }
    }
    return validWays;
}

// 计算总分配方式数
double totalWays(const vector<int>& balls, int n, int k) {
    double total = factorial(2 * n); // 计算所有球的总排列数 (2n)!
    for (int i = 0; i < k; ++i) {
        total /= factorial(balls[i]); // 除以每种颜色球的重复排列数 balls[i]!
    }
    return total;
}

// 计算概率
double calculateProbability(const vector<int>& balls) {
    int k = balls.size(); // 颜色的种类数
    int n = 0;
    for (int i = 0; i < k; ++i) {
        n += balls[i]; // 计算总球数
    }
    n /= 2; // 每个盒子中的球数

    // 计算满足条件的分配方式数
    double validWays = countValidWays(balls, n, k);
    // 计算总分配方式数
    double total = totalWays(balls, n, k);

    // 返回概率
    return validWays / total;
}

int main() {
    vector<int> balls = {2, 1, 1}; // 示例2的输入
    double probability = calculateProbability(balls); // 计算概率
    cout << "概率: " << probability << endl; // 输出结果

    return 0;
}

复杂度分析

- 时间复杂度：主要取决于阶乘和组合数的计算，复杂度为 `O(n)`，其中 `n` 是球的总数。
- 空间复杂度：主要是存储中间结果，复杂度为 `O(1)`。

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