LearnGL - 06.2 - Matrix - 矩阵03 - 逆矩阵、行列式、伴随矩阵、余子式、代数余子式、练习

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本人才疏学浅，如有什么错误，望不吝指出。

上些篇：

• LearnGL - 06 - Matrix - 矩阵01 - 齐次坐标、缩放、旋转矩阵，了解了矩阵就是定义一个坐标空间的轴向
• LearnGL - 06.1 - Matrix - 矩阵02 - 向量空间、向量空间的维度、为何矩阵乘法要有 [M x N] * [N * P] 的 N 要相等的限制，了解了一些矩阵的乘法的维度限制

这一篇：了解 行列式(determinant)、逆矩阵(inverse)、伴随矩阵(adjugate、adjoint)、余子式(cofactor、minor)、代数余子式(algebraic cofactor、minor)。

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逆矩阵-inverse matrix

在计算机3D图形学中，在实现一些特殊功能的时候，特别是一些坐标还原，或重构成其他坐标时，都可能会用到逆矩阵。

一个变换矩阵可以将我们传入的向量（组）变换到此变换矩阵中的另一个坐标系中，如果我们要撤销这些变换呢，那么就需要逆过来变换，这个逆变换的矩阵，就叫：逆矩阵。

我们都知道，标量乘以标量，如：$1\times n=n$，就是1乘以任意数，等于那个数的本身。

同样在矩阵中也有类型的，如：$I\cdot M=M$，$I$是单位矩阵（左上角到右下角都是1，其余都是0的方阵）乘以任意矩阵都等于那个矩阵的本身。

$1\times n=n$，同是$\frac{1}{n}\cdot n=1$，而这个$\frac{1}{n}$就是n的倒数。

同样的也有：$M^{-1}\cdot M=M\cdot M^{-1}=I$，而这其中的$M^{-1}$就是$M$的逆矩阵。

在求逆矩阵时，需要用到行列式的功能。

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行列式-determinant

先来讲一下，determinant - 矩阵行列式（这里我觉得中文翻译的理解不好），为啥要一个“式”字结尾，感觉会误导很多人，可以参考这篇文章的讲解：行列式determinant到底是个啥？，其实 determinant 就是求一个矩阵的N个轴（N个列向量，N>0，范围：1,2,…,n）围起来的空间大小（一维）、面积（二维）、体积（三维）、无法描述的变换空间大小（大于三维），最终的值是一个标量，注意：行列式结果是一个标量，并不是什么式子、也不是向量。

所以可以理解，它就是表述一个变换的基的包围空间的大小。

变换：

• 一维中，假设一个2，就是可以把某个东西可以变大2倍的变换数值，它的determinant就是2，长度。
• 二维中，假设$\overrightarrow{x}(0.5,0)\overrightarrow{y}(0,2)$，就是可以让一个存在于二维下的数值对象(a,b)可以让它在$\overrightarrow{x}(0.5,0)\overrightarrow{y}(0,2)$ 的变换后的结果：$\left[\begin{array}{cc}\overrightarrow{x}& \overrightarrow{y}\\ |& |\end{array}\right]\cdot \left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)\to \left[\begin{array}{cc}0.5& 0\\ 0& 2\end{array}\right]\cdot \left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0.5\cdot a\\ 2\cdot b\end{array}\right)$，相当于把a缩小一倍，b放大一倍。它的determinant就是0.5*2=1面积。
• 同理三维中的是体积。

但上面都是比较理想的变换矩阵，就是他们的每列向量之间都是垂直的（正交的）所以求他们围起来空间，直接向量它们的向量长度就可以了。

但是如果他们不是垂直的（正交的），这个时候就需要将每个轴之间x,y,z分量上有参差的量围成的空间给减去，才能得到最终的空间。

如上图，a(a1,a2),b(b1,b2)向量就是不互相垂直的，黄色就是a(a1,a2)与b(b1,b2)向量x,y分量上参差的分量围起来的面积，着黄色部分的面积就是整个长方形需要减去的面积，最终得到的面积就是a,b向量围起来的平行四边形的面积。

也可以从百度百科中的：矩阵行列式的公式：$det\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=ad-bc$ 来发现一些线索。

如果b,c为零呢？$det\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=ad-bc\to det\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& d\end{array}\right)=ad-0=ad$，那就是向量(a,0)与向量(0,d)垂直了，前者平行于x轴，后者平行于y轴，这时面积就等于ad了，如下图

所以 行列式就是求变换矩阵的轴包围的一个空间大小，只不过在这个二维空间单位是面积，三维就是体积了，一维就是长度。

假设有矩阵A：$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$

det(A)，或是矩阵A的行列式 又或是记作$|A|$，那么：$det(A)=|A|=ad-bc$

那么矩阵A的逆矩阵，记作$A^{-1}$，那么$A^{-1}=\frac{1}{|A|}\cdot \left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]=\frac{1}{ad-bc}\cdot \left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]$

暂且我们不管这个矩阵$\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]$是怎么来的，它看起来就像是a与d交换，b,c添加负数了。这个矩阵叫作：伴随矩阵。后面再详细的搬运一波内容。

这个是2X2矩阵的逆矩阵，我们可以验证一下：

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那么继续逆矩阵的内容

有一个矩阵A：
$$A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}8& -2\\ 4& 6\end{array}\right]$$

A的逆矩阵为：
$$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\cdot \left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]$$
$$A^{-1}=\frac{1}{8\cdot 6-(-2)\cdot 4}\cdot \left[\begin{array}{cc}6& -(-2)\\ -4& 8\end{array}\right]$$
$$A^{-1}=\frac{1}{48+8}\cdot \left[\begin{array}{cc}6& 2\\ -4& 8\end{array}\right]$$
$$A^{-1}=\frac{1}{56}\cdot \left[\begin{array}{cc}6& 2\\ -4& 8\end{array}\right]$$
$$A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}6\cdot \frac{1}{56}& 2\cdot \frac{1}{56}\\ -4\cdot \frac{1}{56}& 8\cdot \frac{1}{56}\end{array}\right]$$
$$A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}\frac{6}{56}& \frac{2}{56}\\ -\frac{4}{56}& \frac{8}{56}\end{array}\right]$$

OK，现在计算得$A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}\frac{6}{56}& \frac{2}{56}\\ -\frac{4}{56}& \frac{8}{56}\end{array}\right]$，然将与$A=\left[\begin{array}{cc}8& -2\\ 4& 6\end{array}\right]$相乘，结果看看是否等于$I$：

$$A^{-1}\cdot A=I$$

$$\left[\begin{array}{cc}\frac{6}{56}& \frac{2}{56}\\ -\frac{4}{56}& \frac{8}{56}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}8& -2\\ 4& 6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$$

$$\left[\begin{array}{cc}\frac{6\cdot 8}{56}+\frac{2\cdot 4}{56}& \frac{6\cdot (-2)}{56}+\frac{2\cdot 6}{56}\\ -\frac{4\cdot 8}{56}+\frac{8\cdot 4}{56}& -\frac{4\cdot (-2)}{56}+\frac{8\cdot 6}{56}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$$

[ 48 56 + 8 56 − 12 56 + 12 56 − 32 56 + 32 56 8 56 + 48 56 ] = [ 1 0 0 1 ] \begin{bmatrix}\frac{48}{56} + \frac{8}{56} & \frac{-12}{56} + \frac{12}{56} \\ -\frac{32}{56} + \frac{32}{56} & \frac{8}{56} + \frac{48}{56}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} [5648​+568​−5632​+5632​​56−12​+5612​568​+5648​​]=[10​