96. Unique Binary Search Trees

最新推荐文章于 2021-05-17 12:15:23 发布

lilibaobao89

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分类专栏：不懂

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本文探讨了如何计算给定整数n时，能构建的不同结构的二叉搜索树的数量，并给出了解决这一问题的一维动态规划算法实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1...n?

For example,
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's.

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

1 1 2 3 3

\ \ / \ / /
3 2 1 3 2 1
/ \ / \
2 3 1 2

比如，以1为根的树有几个，完全取决于有二个元素的子树有几种。同理，2为根的子树取决于一个元素的子树有几个。以3为根的情况，则与1相同。

定义Count[i] 为以[0,i]能产生的Unique Binary Tree的数目，

如果数组为空，毫无疑问，只有一种BST，即空树，
Count[0] =1

如果数组仅有一个元素{1}，只有一种BST，单个节点
Count[1] = 1

如果数组有两个元素{1,2}，那么有如下两种可能
1 2
\ /
2 1
Count[2] = Count[0] * Count[1] (1为根的情况)
+ Count[1] * Count[0] (2为根的情况。

再看一遍三个元素的数组，可以发现BST的取值方式如下：
Count[3] = Count[0]*Count[2] (1为根的情况)
+ Count[1]*Count[1] (2为根的情况)
+ Count[2]*Count[0] (3为根的情况)

所以，由此观察，可以得出Count的递推公式为
Count[i] = ∑ Count[0...k] * [ k+1....i] 0<=k<i-1

问题至此划归为一维动态规划。

       int numTrees(int n) {  
            vector<int> count(n+1, 0);  
            count[0] =1;  
            count[1] =1;  
            for(int i =2; i<=n; i++)  
            {  
                 for(int j =0; j<i; j++)  
                 {  
                      count[i] += count[j]*count[i-j-1];   
                 }  
            }  
            return count[n];  
       }