leetcode 96. Unique Binary Search Trees

Given n, how many structurally unique BST’s (binary search trees) that store values 1 … n?

Example:

Input: 3
Output: 5
Explanation:
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST’s:

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

给出数字n，问从1到n的这n个点，可以组成多少个binary search tree

二叉搜索树条件：左子树 < root < 右子树

思路：
dynamic programming
定义dp数组treeNum[n+1]

n = 1时，一个节点是1个BST，即treeNum[1] = 1

n = 2时，节点是1，2
顺序假设1，2是root：
1作root时，左子树是0个节点，右子树是{2}，即1个节点
那么BST的总数量应该是左子树的数量 * 右子树数量（可以画出来）
treeNum[2] = treeNum[0] * treeNum[1]

而已经知道treeNum[1] = 1
左边是0个节点相当于所有剩余节点都在右子树，只需要知道右子树的数量就行了，
即1为root时， treeNum[2] = treeNum[1]，
但是为了利用treeNum[2] = treeNum[0] * treeNum[1] = 1
定义treeNum[0] = 1

当2为root时，左子树一个节点{1}, 右边0个节点, 和之前的一种情况相加
所以treeNum[2] += treeNum[1] * treeNum[0] = 2

以此类推
3个节点时：1，2，3
1为root：左子树0个节点，右子树{ 2, 3}
treeNum[3] += treeNum[0] * treeNum[2]
2为root：
treeNum[3] += treeNum[1] * treeNum[1]
3为root：
treeNum[3] += treeNum[2] * treeNum[0] = 5

为了求n个节点有多少个BST，需要顺序求出2～n-1个节点有多少个BST
假设i是从2～n-1
对某个 i，需要从左到右假设每个点 j 是root
看 j 左边有几个节点作为左子树，右边有几个节点作为右子树
即treeNum[j] = treeNum[j] * treeNum[i - j - 1]

    public int numTrees(int n) {
        if (n <= 1) {
            return n;
        }
        
        int[] treeNum = new int[n + 1];
        treeNum[0] = 1;
        treeNum[1] = 1;
        
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                treeNum[i] += treeNum[j] * treeNum[i - j - 1];
            }
        }
        
        return treeNum[n];
    }