LightOJ - 1038 Race to 1 Again （找因子+期望）

原创于 2018-09-05 19:53:58 发布 · 302 阅读

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本文探讨了一个数学问题，即对于给定的数字D，通过不断将其除以可以整除D的因子，直到D变为1的过程，计算这个过程的期望次数。通过解析数学公式，我们能够有效地计算出任意数字D对应的期望除次数。

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给个数字Ｄ，我们可以选择1~Ｄ中可以被Ｄ整除的因子，除以D得到一个新的D，再用新D除以它的因子得到又一个新D，按次操作除到D=1时结束，求除的次数的期望值。

p[D]表示从D除到1的期望次数，D的因子有cnt个（包括1和本身）

则 $p[D]=\frac{(p[a_1]+1)+(p[a_2]+1)+...+(p[a_{cnt}]+1)}{cnt}$ ，(其中 $a_{cnt}=D$ )每个都+1表示已除以一次因子。

整理得： $p[D]=\frac{(p[a_1]+1)+(p[a_2]+1)+...+(p[a_{cnt-1}]+1)}{cnt-1}$ 。

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
const int N=1e5+5;
double p[N];

void init(){
	memset(p,0,sizeof(p));
	for(int i=2;i<=N;i++){
		double sum=0;
		int cnt=0;
		p[1]=0;
		for(int j=1;j*j<=i;j++){
			if(i%j==0){
				cnt++;
				sum+=(p[j]+1);  //+1表示除以因子算走一步了
				if(j!=i/j){ //与另一个因子不同 
					cnt++;
					sum+=(p[i/j]+1); 
				}
			}
		}
		p[i]=sum/(cnt-1);
	}
}

int main(){
	init();
	int T,t=1;scanf("%d",&T);
	while(T--){
		int n;scanf("%d",&n);
		printf("Case %d: %lf\n",t++,p[n]);
	}
	return 0;
}