bzoj 3329: Xorequ 数位dp+矩阵快速幂

本文详细解析了一道算法题,题目要求求解方程x xor 3x=2x在特定区间内的解的数量。通过将原方程转化为x xor 2x=3x的形式,文章提出了两种解决方案:一是使用数位DP,二是利用矩阵快速幂。对于第一种方法,我们定义了状态f[i][0/1][0/1]来表示当前处理到第i位的情况;第二种方法则通过满足f[i]=f[i-1]+f[i-2]的规律,采用矩阵快速幂进行高效计算。

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题目大意:
给定方程x xor 3x=2xx\ xor\ 3x=2xx xor 3x=2x
询问当x∈[1,n]x\in[1,n]x[1,n]x∈[1,2n]x\in[1,2^n]x[1,2n]时解的个数。

分析:
原方程等价于x xor 2x=3xx\ xor\ 2x=3xx xor 2x=3x,也就是这个数向左移动一位后所有的111都错开了,也就是满足任意两个111不能相邻。
第一问考虑数位dp,设f[i][0/1][0/1]f[i][0/1][0/1]f[i][0/1][0/1]表示做到第iii位,最高位是0/10/10/1,当前表示的数字比原数大(小)的方案数,转移显然。
第二问满足f[i]=f[i−1]+f[i−2]f[i]=f[i-1]+f[i-2]f[i]=f[i1]+f[i2],矩阵快速幂即可。

代码:

/**************************************************************
    Problem: 3329
    User: ypxrain
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:40 ms
    Memory:1300 kb
****************************************************************/
 
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#define LL long long
 
const LL mod=1e9+7;
const int maxn=307;
 
using namespace std;
 
int T;
LL n;
LL f[maxn][2][2];
 
struct rec{
    LL a[3][3];
}A,B;
 
rec operator *(rec a,rec b)
{
    rec c;
    for (int i=1;i<=2;i++)
    {
        for (int j=1;j<=2;j++) c.a[i][j]=0;
    }
    for (int k=1;k<=2;k++)
    {
        for (int i=1;i<=2;i++)
        {
            for (int j=1;j<=2;j++)
            {
                c.a[i][j]=(c.a[i][j]+a.a[i][k]*b.a[k][j]%mod)%mod;
            }
        }
    }
    return c;
}
 
void power(LL k)
{
    if (k==1) 
    {
        A=B;
        return;
    }
    power(k/2);
     
    A=A*A;
    if (k%2) A=A*B;
}
 
int main()
{
    B.a[1][1]=0,B.a[1][2]=1,B.a[2][1]=1,B.a[2][2]=1;
    scanf("%d",&T);
    while (T--)
    {       
        scanf("%lld",&n);
        f[0][0][0]=1;
        int j=1;            
        for (LL i=n;i>0;i>>=1,j++)
        {
            if (i&1)
            {
                f[j][0][0]=f[j-1][0][0]+f[j-1][1][0]+f[j-1][0][1]+f[j-1][1][1];
                f[j][0][1]=0;
                f[j][1][0]=f[j-1][0][0];
                f[j][1][1]=f[j-1][0][1];
            }
            else
            {
                f[j][0][0]=f[j-1][0][0]+f[j-1][1][0];
                f[j][0][1]=f[j-1][0][1]+f[j-1][1][1];
                f[j][1][0]=0;
                f[j][1][1]=f[j-1][0][0]+f[j-1][0][1];
            }
        }       
        j--;        
        printf("%lld\n",f[j][0][0]+f[j][1][0]-1);       
        power(n);
        printf("%lld\n",(A.a[1][2]+A.a[2][2])%mod);
    }
}

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