bzoj 5043: [Lydsy1709月赛]密码破译-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/liangzihao1/article/details/84203465

本文介绍了一个加密算法问题的解决思路，通过动态规划方法寻找使序列异或后总和为目标值的密钥。讨论了如何计算每一位对总和的贡献，并通过状态转移方程实现了高效的求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description
小Q发明了一个新的加密算法，对于一个长度为 $n$ 的非负整数序列 $a_1,a_2,...,a_n$ ，他会随机选择一个非负整数k，

将每个数都异或上 $k$ 得到 $b_1,b_2,...,b_n$ ，即 $b_i=a_i\ xor\ k$ 。不幸的是，健忘的小Q睡了一觉之后就把密钥 $k$ 忘得
一干二净了，不过他隐约记得 $a_1+a_2+...+a_n$ 的值为 $m$ ，你能帮他找到一个可行的密钥吗
Input

第一行包含两个整数 $n,m(1<=n<=100000,0<=m<2^{60})$ ，分别表示序列的长度以及加密前所有数的和。
第二行包含 $n$ 个整数 $b_1,b_2,...,b_n(0<=b_i<2^{60})$ ，表示加密后的序列。
Output

输出一个非负整数k，若无解输出-1，若有多组解，输出最小的 $k$ 。

Sample Input
3 5
1 2 3

Sample Output
1

分析：
题目大意就是找一个数 $k$ ，使得给定数列都异或 $k$ 后和为 $m$ 。
对于每一位，我们考虑这一为是0还是1的贡献，0为 $cnt[i]*2^i$ ，1为 $n-cnt[i])*2^i$ ，其中 $c n t [i]$ 为从低位起所有数第 $i$ 位1的个数和。
考虑第 $i$ 位答案选0或选1，设 $f [i] [j]$ 为选到第 $i$ 位，比 $m$ 小 $j*2^i$ 的最小答案。
考虑从高位进行dp，设 $m$ 第 $i$ 位为 $a [i]$ 。
第 $i$ 位选0， $f [i] [j * 2 + a [i] - c n t [i]] = f [i + 1] [j]$ ，第 $i$ 位选1， $f [i] [j * 2 + a [i] - n + c n t [i]] = f [i + 1] [j]$ 。
然后可以滚掉 $i$ 。
至于第二维，当 $j > 2 n$ 时，后面无论怎样都不可能使得它变为0，所以只要保留 $2 n$ 即可。

代码：

/**************************************************************
    Problem: 5043
    User: ypxrain
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:792 ms
    Memory:5196 kb
****************************************************************/
 
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#define LL long long
 
const int maxn=1e5+7;
const LL inf=2e18;
 
using namespace std;
 
int n;
LL m;
LL a[maxn],f[2][2*maxn],M[62],sum[62];
 
int main()
{
    scanf("%d%lld",&n,&m);
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]);
    for (int j=0;j<60;j++,m>>=1) M[j]=m&1;
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        for (int j=0;j<60;j++,a[i]>>=1) sum[j]+=a[i]&1;
    }   
    for (int i=0;i<=2*n;i++) f[0][i]=inf;
    f[0][0]=0;
    int x=0,y=1;
    LL d=(LL)1<<59;
    for (int j=59;j>=0;j--,x^=1,y^=1,d>>=1)
    {
        for (int i=0;i<=2*n;i++) f[y][i]=inf;
        for (int i=0;i<=2*n;i++)
        {
            if (f[x][i]>=inf) continue;
            int k=i*2+M[j]-sum[j];
            if ((k>=0) && (k<=2*n)) f[y][k]=min(f[y][k],f[x][i]);
            k=i*2+M[j]-n+sum[j];
            if ((k>=0) && (k<=2*n)) f[y][k]=min(f[y][k],f[x][i]+d);
        }
    }   
    if (f[x][0]>=inf) printf("-1");
                 else printf("%lld",f[x][0]);
}