jzoj. 3873. 【NOIP2014八校联考第4场第2试10.20】乐曲创作(music)

Description

小可可是音乐学院的一名学生，他需要经常创作乐曲完成老师布置的作业。
可是，小可可是一个懒惰的学生。所以，每次完成作业时，他不会重新创作一首新的乐曲，而是去修改上一次创作过的乐曲作为作业交给老师。小可可的乐曲由N个音调不同的音符组成，分别记为音符1…N。因此，他创作的乐曲是由1…N的一个排列构成，例如N=5时，他创作的乐曲可能为：2,1,3,5,4。但是，小可可每一次会按照一定的要求修改上一次创作的乐曲。他规定，修改过后的乐曲必须与上一次创作的乐曲的悦耳值相同。所谓悦耳值就是他所创作的乐曲，也就是1…N的排列中逆序对的个数。逆序对是指对于1…N的一个排列A1,A2,…,An中的两个数Ai,Aj，满足i < j而Ai > Aj，例如：2,1,3,5,4 这个排列中有2个逆序对，分别为：(2,1)，(5,4)。可是，满足条件的排列有很多，小可可会选择在这些满足条件的排列中字典序大于上次创作乐曲的排列的字典序，且字典序尽量小的那一个排列作为新的乐曲。这里的字典序指：排列A：A1,A2…An和排列B：B1,B2…Bn，若存在一个数k，使得Ak < Bk，且A1=B1,A2=B2,……,Ak-1=Bk-1，我们就称排列A的字典序小于排列B的字典序。
由于小可可最近要参加学校的篮球比赛，他没有空余时间完成老师布置的作业，于是他希望作为他好友的你帮助他完成作业。

Input

第1行1个正整数N，表示小可可的乐曲由N个音调不同的音符组成。
第2行为N个不同的正整数，表示1…N的一个排列，即小可可上次创作的乐曲。

Output

输出只有一行，为1…N的一个排列，表示你帮助小可可修改后的乐曲。
数据保证有满足条件的解。

Sample Input

输入1：
3
2 3 1
输入2：
5
2 1 3 5 4

Sample Output

输出1：
3 1 2
输出2：
2 1 4 3 5

Data Constraint

30%的数据，1≤N≤10；
60%的数据，1≤N≤1000；
100%的数据，1≤N≤500000。

分析：算法：贪心，构造法
我们假设新产生的序列 P 与原序列 A 相比第一个需要改动的数的下标为 i，
就要判断是否可能产生满足条件的数列（Ai被别的数替换后）。这里需要满足：
A1,A2,……,Ai,Ai+1,Ai+2,……,An-1,An 设 F(i)为数列 Ai,Ai+1,Ai+2,……,An-1,An的逆序对个数
显然，1≤F(i) ≤(n-i+1)(n-i)/2 且 Ai < Max{ Ai,Ai+1,Ai+2,……,An-1,An }
我们可以利用上面的约束条件构造出这个函数。
最主要的是要找到使得下标 i 最大的第一个需要改动的数 Ai。
这个数需要满足：
存在 j,k(j≠k)，使得 Aj < Ai < Ak。
找到第一个需要改动的数后，我们可以用贪心法构造出题目所要求的序列。
当我们确定了改变一个数之后，需要在剩下的数中找到满足条件的最小的数。
这不太好理解，举个例子：
例如：6 3 5 4 1 2 这个数列
首先找到第一个需要修改的数 3，
6 3 5 4 1 2
1.找到可以替换的最小的数：4
6 4
2.找到下一个满足条件的最小的数：2
不能选 1，为什么？自己考虑。
接下来完成数列：4 2 5 3 1
时间复杂度：O(N) 期望得分：100 分

代码：

var
    a,c,s:array[0..500000] of longint;
    sma,ni:array[0..500000] of int64;
    t:array[0..2000000] of longint;
    p:array[0..500000] of boolean;
    n,i,j,st,l,r,mid,zhi:longint;
    sum,num,tot:int64;
function max(x,y:longint):longint;
begin
    if x>y then exit(x);exit(y);
end;
function min(x,y:longint):longint;
begin
    if x<y then exit(x);exit(y);
end;
function lowbit(x:longint):longint;
begin
    exit(x and (-x));
end;
procedure add(x,y:longint);
begin
    while x<=n do
    begin
        inc(s[x],y);x:=x+lowbit(x);
    end;
end;
function get(x:longint):int64;
begin
    get:=0;
    while x>0 do
    begin
        get:=get+s[x];x:=x-lowbit(x);
    end;
end;
procedure change(l,r,wz,x,y:longint);
var mid:longint;
begin
    if l=r then
    begin
        t[wz]:=y;exit;
    end;
    mid:=(l+r)div 2;
    if x>mid then change(mid+1,r,wz*2+1,x,y) else change(l,mid,wz*2,x,y);
    t[wz]:=t[wz*2]+t[wz*2+1];
end;
procedure ask(l,r,wz,x:longint);
var mid:longint;
begin
    if l=r then
    begin
        zhi:=l;exit;
    end;
    mid:=(l+r) div 2;
    if t[wz*2]<x then ask(mid+1,r,wz*2+1,x-t[wz*2]) else ask(l,mid,wz*2,x);
end;
begin
    readln(n);
    for i:=1 to n do read(a[i]);
    for i:=n downto 1 do
    begin
        ni[i]:=get(a[i]);
        add(a[i],1);
        num:=num+ni[i];
    end;
    for i:=1 to n do sma[i]:=ni[i]+sma[i-1];
    st:=1;
    for i:=n downto 1 do
    begin
        zhi:=max(zhi,a[i]);
        if (zhi>a[i])and(ni[i]+sma[i-1]+1<=num)and(sma[i-1]+(n-i)*(n-i+1) div 2+i-1>=num) then
        begin
            st:=i;break;
        end;
    end;
    for i:=1 to st-1 do
    begin
        c[i]:=a[i];p[a[i]]:=true;
    end;
    for i:=a[st]+1 to n do if p[i]=false then break;
    p[i]:=true;c[st]:=i;
    zhi:=maxlongint;for i:=st+1 to n do if a[i]>a[st] then zhi:=min(zhi,a[i]);
    for i:=1 to n do if p[i]=false then change(1,n,1,i,1);
    sum:=sma[st-1];
    for i:=st to n do if a[i]<zhi then inc(sum);
    for i:=st+1 to n do
    begin
        l:=1;r:=n-i+1;
        while l<r do
        begin
            mid:=(l+r)div 2;
            tot:=(n-i)*(n-i-1) div 2+mid-1+sum;
            if num<=tot then r:=mid else l:=mid+1;
        end;
        ask(1,n,1,l);
        sum:=sum+l-1;
        c[i]:=zhi;p[zhi]:=false;change(1,n,1,zhi,0);
    end;
    for i:=1 to n do write(c[i],' ');
end.