leetcode 1359. Count All Valid Pickup and Delivery Options（有效的快递序列数目）

给你 n 笔订单，每笔订单都需要快递服务。

请你统计所有有效的 收件/配送 序列的数目，确保第 i 个物品的配送服务 delivery(i) 总是在其收件服务 pickup(i) 之后。

由于答案可能很大，请返回答案对 10^9 + 7 取余的结果。

示例 1：

输入：n = 1
输出：1
解释：只有一种序列 (P1, D1)，物品 1 的配送服务（D1）在物品 1 的收件服务（P1）后。
示例 2：

输入：n = 2
输出：6
解释：所有可能的序列包括：
(P1,P2,D1,D2)，(P1,P2,D2,D1)，(P1,D1,P2,D2)，(P2,P1,D1,D2)，(P2,P1,D2,D1) 和 (P2,D2,P1,D1)。
(P1,D2,P2,D1) 是一个无效的序列，因为物品 2 的收件服务（P2）不应在物品 2 的配送服务（D2）之后。
示例 3：

输入：n = 3
输出：90

提示：
1 <= n <= 500

方法一：
找规律。
首先把P1～Pn做好排列，共有n! 种排列方法。
然后拿出其中一例，讨论Dn的排列
P1，P2，P3，… , Pn
首先看Dn，它只有一处能放，它需放在Pn后面，得到P1，… ,Pn-1，Pn，Dn
然后Dn-1，它能放在Pn前面，Pn后面Dn前面，Dn后面，共3种
再看Dn-2，可验证有5种
后面就不一一验证了，一共1，3，5，… ,2i-1种
上面只是一种P的排列，那P一共n！种排列方式，
所以P和D结合起来一共n!* (1 * 3 * 5 * … * (2n-1)）种
注意结果要用long型，因为在取模之前有可能已经溢出
参考链接

    public int countOrders(int n) {
        long result = 1;
        int mod = 1000000007;
        
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            result *= i;  //n!
            result %= mod;
            result *= (2*i - 1);
            result %= mod;
        }
        return (int)(result %= mod);
    }

方法二：
DP
代码和上面一样，只是思维方式不一样
令DP[i]表示有i个点时有多少种排列
如果有i-1个物品，那么因为同时有P和D，所以一共会有2(i-1)个点
现在看第i个物品，会引入Pi和Di
Pi引入后，如果Pi放在index=0处，那么Di可放的位置有2i-1处（index=0后面有2i-2个点，它们加上左右两端的缝隙有2i-2+1处缝隙可放）
如果Pi放在index=1处，Di可放的位置有2i-2处
…
如果Pi放在最后，Di也只能放在最后1处
一共有1+2+…+(2i-1) = i * (2i-1)
再来一个Pi+1的话，就会在此基础上再乘(i+1) * (2I+1)
所以dp[i] = dp[i-1] * i * (2i-1)

代码和上面一样
参考链接