leetcode 878. Nth Magical Number (第N个魔法数）

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原创最新推荐文章于 2026-09-24 13:48:31 发布 490 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

魔法数(大贤者福尔) 大贤者福尔最近迷上了数学，他研究发现有些神奇的数似乎具有某种魔力。于是他开始研究自然数，发现某个范围内的一些数，经过一定规则运算后的和，等于另一个数按同样规则计算后的值。具体来说，给定不大于N的整数a,b,c,d(1≤a≤b≤c≤d≤N)，可能存在关系a^x+b^x+c^x=d^x。福尔想知道在给定的范围N中，有多少数能够满足这种关系？输入输入数据有若干行，每行包括两个整数x, N(2≤x≤3,1≤N≤100)。输出对每组测试数据，先输出样例编号Case c:，c为当前测试样例的组号，从阅读详情

在这里插入图片描述
给出整数a, b，找到第n个魔法数。魔法数是指能被a 或 b整除。
结果对10⁹+7取模

思路：
比如2和3，n=4，即要找第4个魔法数
魔法数能被2或3整除，先找到2和3的倍数
2 4 6 8 10 12
3 6 9 12 15
排下序：2 3 4 6 6 8 9 10 12 12 15

可以发现，每个公倍数会出现2次，以公倍数为分界点，每两个不同的公倍数之间的数字个数是一样的
把不同的公倍数之间的数字称为一个block，那么block的长度len=lcm/2 + lcm/3 - 1 ,
其中lcm是指最小公倍数，1是重复的一个公倍数，要减掉

我们要找第n个魔法数，可用n/len定位到第几个block，再用n % len定位到所在block的第几个数字
比如n=4，a=2，b=3
算出lcm = 6
block的长度len = lcm/2 + lcm/3 - 1 = 4
n/len=1, 所以我们定位在第1个block，n%len = 0, 所以第n个数在第一个block的最后一个数，也就是6

那如果n%len！=0呢？
假设shift = n%len, 即偏移量
注意这个是偏移量，即下一个block的第几个数字，而我们要找的是具体数字是多少，即要找比定位到的block的最后一个数字大了多少，大的这部分的增加量。
因此需要找偏移量和增加量的关系。

还是假设a=2，b=3
如果是2的倍数，走一步的偏移量是2, 同理3的倍数走一步的偏移量是3
一步偏移量对应的分别就是1/2，1/3
小学有道题，甲做完一个工作2小时，乙做完一个工作3小时，同时做会是几小时，那么他们一起做的工作效率是1/2+1/3
这里也是，一起移动每个偏移量对应1/2 + 1/3
那么一个偏移量对应的实际的数字增加量就是1/(1/2+1/3)，也就是下一个数字比上一个数字平均大多少。当然它不能是小数，取ceil

刚刚用1/(1/2+1/3)是根据a和b一起走，根据平均效率得到的应该增加的数字，实际上只有a或b移动，分别看a和b要多少步移动到这个增加的数字，取较小值，就是实际的偏移量对应的增加量

用lcm x block数 + 增加量即得到最后的魔法数（说的有点难理解，其实就是一个是block剩下的偏移量，一个是这个偏移量对应的增加的数，要怎么把它们对应起来的问题，对应关系如下）
偏移量 / (1/a + 1/b) = min( ceil(增加的数字/a) x a + ceil(增加的数字/b) x b)

    public int nthMagicalNumber(int n, int a, int b) {
        long lcm = a * b / gcd(a, b);
        long M = 1000000007;
        long len = lcm / a + lcm / b - 1;
        long blocks = n / len;
        long shift = n % len;
        double idx = shift / (1.0 / a + 1.0 / b);
        long reminder = Math.min((long)Math.ceil(idx/a)*a, (long)Math.ceil(idx/b) * b);
        return (int)((lcm * blocks + reminder) % M);
    }
    
    int gcd(int a, int b) {
        return (b == 0 ? a : gcd(b, a % b));
    }