Magical Number

如果一种正整数，不含前导0，而且任意相邻两个数字之差至少为M，则称其为魔法数，正整数1~9对任意M值都是有效的魔法数。给定M值以及范围[A,B]（1<=A<B<=100000000），返回有效魔法数的个数。

试想用递归枚举，但是范围值可能会非常大，时间和内存都成问题。一时不太清楚从何入手，只好先试着将问题简化，尽管是求范围 [A,B]之间，但是不妨把问题的解视作=(小于等于B的魔法数个数)-(小于等于A-1的所有魔法数个数)，则将问题简化为M值下求<=N的的魔法数个数。

 

接下来尝试逐位分析。假设上界N=54321，M=2，如果有效的魔法数最高位也为5，则次高位则必须是abs(5-n)>=M=2，可取n=(0,1,2,3,7,8,9)，但是不能超过4，所以只能取 (0,1,2,3)；如果魔法数的最高位为(1~4)，则对后续的位数上取值范围没有限制，因为如何都不大于54321；如果魔法数的最高位为 0，乍看是非法的（因为要求无前导0），但是换个角度不妨认为其描述了位数不超过5的所有魔法数个数。当最高位数定为5后，再分析次高位的情况，等同于分析N=4321的情况。

通过以上分析，渐渐可以形成一个思路，其中存在三类问题，即对于某个有效魔法数的最高位：1）当它等于上界值时，如何处理（与低位上的数的选择存在一定关系）；2）当它小于等于上界且大于0时，如何处理；3）当其等于0（表示长度减1后的情况）时，如何处理。

循着这个思路，初步判断可以用三类数组来记录信息：
二维数组smallerCountAt[i][j]，表示第i位为j，且前面i-1位数已经符合界限条件的魔法数个数
二维数组unlimitCountAt[i][j]，表示第i位为j，且不受任何取值限制情况下的魔法数个数
一维数组allCountAt[i]，表示数的长度为i时的，不受任何取值限制的魔法数的个数

假设这几个数组已经可用，对于N=54321，M=2这个例子，魔法数的个数S
S=smallerCountAt[5][5]+unlimitCountAt[5][1...4]+allCountAt[4]
这个方式对任何N(N>0)值都适用


于是问题变成如何计算这三个数组，假设已经得到了第i-1次的结果，现在需要推导第i次的结果：

unlimitCountAt[i][j] = sum(unlimitCountAt[i-1][k])      {j=0~9 && k=0~9 && abs(j-k)>=M }

allCountAt[i] = allCountAt[i-1] + sum(unlimitCountAt[i][1...9])

                                   { 0                                              {j>limit}
smallerCountAt[i][j] = { sum(smallerCountAt[i-1][k])    {j=limit && k=0~9 && abs(j-k)>=M }
                                   { sum(unlimitCountAt[i-1][k])     {j<limit && k=0~9 && abs(j-k)>=M }

初始化：

unlimitCountAt[1][0...9]=1
smallerCountAt[1][1...limit]=1
allCountAt[0]=1, allCountAt[1]=10

然后迭代并求解即可

 

public int findBetween(int A, int B, int M) { return find(B,M)-find(A-1,M); //B>A } public int find(int A, int M) { char[] chars = Integer.toString(A).toCharArray(); int[] digits = new int[chars.length]; for(int i=0; i<chars.length; i++) digits[i] = chars[chars.length-1-i]-'0'; int[][] unlimitCountAt = new int[digits.length+1][10]; int[][] smallerCountAt = new int[digits.length+1][10]; int[] allCountAt = new int[digits.length+1]; for(int i=0; i<10; i++) { unlimitCountAt[1][i] = 1; smallerCountAt[1][i] = (i<=digits[0]?1:0); } allCountAt[0] = 1; allCountAt[1] = 10; for(int i=1; i<digits.length; i++) { for(int j=0; j<10; j++) for(int k=0; k<10; k++) if(Math.abs(j-k)>=M) unlimitCountAt[i+1][j] += unlimitCountAt[i][k]; allCountAt[i+1] = allCountAt[i]; for(int j=1; j<10; j++) allCountAt[i+1] += unlimitCountAt[i+1][j]; for(int j=0; j<digits[i]; j++) for(int k=0; k<10; k++) if(Math.abs(j-k)>=M) smallerCountAt[i+1][j] += unlimitCountAt[i][k]; for(int k=0; k<10; k++) if(Math.abs(digits[i]-k)>=M) smallerCountAt[i+1][digits[i]] += smallerCountAt[i][k]; } int length = digits.length; int result = allCountAt[length-1]; if(digits[length-1]>0) result += smallerCountAt[length][digits[length-1]]; for(int i=1; i<digits[length-1]; i++) result += unlimitCountAt[length][i]; return result; }