快速矩阵二分幂

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感谢super_boy：http://www.cnblogs.com/yan-boy/archive/2012/11/29/2795294.html

矩阵的快速幂是用来高效地计算矩阵的高次方的。将朴素的o（n）的时间复杂度，降到log（n）。

这里先对原理（主要运用了矩阵乘法的结合律）做下简单形象的介绍：

一般一个矩阵的n次方，我们会通过连乘n-1次来得到它的n次幂。

但做下简单的改进就能减少连乘的次数，方法如下：

把n个矩阵进行两两分组，比如：A*A*A*A*A*A => (A*A)*(A*A)*(A*A)

这样变的好处是，你只需要计算一次A*A，然后将结果(A*A)连乘自己两次就能得到A^6，即(A*A)^3=A^6。算一下发现这次一共乘了3次，少于原来的5次。

其实大家还可以取A^3作为一个基本单位。原理都一样：利用矩阵乘法的结合律，来减少重复计算的次数。

以上都是取一个具体的数来作为最小单位的长度，这样做虽然能够改进效率，但缺陷也是很明显的，取个极限的例子（可能有点不恰当，但基本能说明问题），当n无穷大的时候，你现在所取的长度其实和1没什么区别。所以就需要我们找到一种与n增长速度”相适应“的”单位长度“，那这个长度到底怎么去取呢？？？这点是我们要思考的问题。

有了以上的知识，我们现在再来看看，到底怎么迅速地求得矩阵的N次幂。

既然要减少重复计算，那么就要充分利用现有的计算结果咯！~怎么充分利用计算结果呢？？？这里考虑二分的思想。。

大家首先要认识到这一点：任何一个整数N，都能用二进制来表示。。这点大家都应该知道，但其中的内涵真的很深很深（这点笔者感触很深，在文章的最后，我将谈谈我对的感想）！！

计算机处理的是离散的信息，都是以0,1来作为信号的处理的。可想而知二进制在计算机上起着举足轻重的地位。它能将模拟信号转化成数字信号，将原来连续的实际模型，用一个离散的算法模型来解决。好了，扯得有点多了，不过相信这写对下面的讲解还是有用的。

回头看看矩阵的快速幂问题，我们是不是也能把它离散化呢？比如A^19 => （A^16）*（A^2）*（A^1），显然采取这样的方式计算时因子数将是log(n)级别的(原来的因子数是n)，不仅这样，因子间也是存在某种联系的，比如A^4能通过(A^2)*(A^2)得到，A^8又能通过(A^4)*(A^4)得到，这点也充分利用了现有的结果作为有利条件。下面举个例子进行说明：

现在要求A^156,而156(10)=10011100(2)

也就有A^156=>(A^2^2)*(A^2^3)*(A^2^4)*(A^2^7) 考虑到因子间的联系，我们从二进制10011100中的最右端开始计算到最左端。

因为幂的相乘等于指数相加,所以 A^2^2 * A^2^2 = A^2^3,后一个都是有前两个相乘得到的充分利用了现有的结果作为有利条件并且最后 2^2+2^3+2^4+2^7 = 156原数的指数

计算次数就是指数化为二进制的数字的长度也就是log(n),A^156计算次数为8次极大的减小了时间浪费

代码如下：

n阶矩阵的m次方

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
struct Matrix//矩阵
{
	int row[12][12];
};
Matrix A,B,unit;
int n,mm;
Matrix Matrix_Mul(Matrix a,Matrix b) //矩阵的乘法,传结构体比较快
{
	Matrix sum;
	memset(sum.row,0,sizeof(sum.row));//记得要初始化,不然会有垃圾数据
	int i,j,k;
	for(i = 0; i < n; i++)
	{
		for(j = 0; j < n; j++)
		{
			for(k = 0; k < n; k++)
			{
				sum.row[i][j] += a.row[i][k]*b.row[k][j];//看现代书，矩阵乘法自己推理
			}
		}
	}
	return sum;//返回矩阵a*b的结果,还是一个矩阵
}

void getdata(int m)// A^m的计算
{
	B = unit;//初始化为单位矩阵 AE = A,A的1次方还是A,B为最后保存结果的矩阵
	while(m)
	{
		if(m & 1)//
		{
			B = Matrix_Mul(B,A);// 就是这一步 A^156=>(A^2^2)*(A^2^3)*(A^2^4)*(A^2^7)
		}
		A = Matrix_Mul(A,A);
		m = m >> 1;
	}
}
int main()
{
	int t;
	scanf("%d",&t);
	while(t--)
	{	
		scanf("%d%d",&n,&mm);
		memset(B.row,0,sizeof(B.row));
		int i,j;
		for(i = 0; i < n; i++)//初始化A和和单位矩阵,单位矩阵就是左对角线全为1，其余都是0
		{
			for(j = 0; j < n; j++)
			{
				scanf("%d",&A.row[i][j]);
				unit.row[i][j] = (i == j);
			}
		}
		getdata(mm);
	}
	return 0;
}

扩展矩阵二分幂的用途：

矩阵乘法的一个用处就是计算常系数线性齐次递推关系，例如波菲衲契数列！

如：F（n）=F（n-1）+F（n-2）这是一个二阶递推式，所以存在一个二阶矩阵将F（n），F（n-1）和

F（n-1），F（n-2）联系起来！