快速幂算法及其在动态规划中的应用(矩阵幂)

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已于 2022-01-29 21:51:05 修改 · 1.3k 阅读

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#矩阵 #算法 #动态规划 #快速幂 #C++

于 2022-01-29 18:29:37 首次发布

本文详细介绍快速幂算法原理及其在计算大整数幂次、矩阵幂次的应用，并通过具体实例展示如何利用快速幂算法提高计算效率。

文章目录

一、快速幂算法引入
二、快速幂算法
三、快速幂算法在矩阵幂中的运算
四、LeetCode1220的快速幂做法
五、参考资料

一、快速幂算法引入

假如我们有一个需要求2^100的后三位的问题，我们可以利用%运算的性质：
$b)\%p = (a\%p * b\%p)\%p$
这意味着我们如果想对 $2^{100}$ 直接取后三位，也就是取余1000，可以对它的每个因子取余1000,然后把这些因子乘起来再取余1000，得到的结果和直接对 $2^{100}$ 取余1000是一样的。

常规思路是循环100次，模拟乘100次2的过程。

但是这样思路写的代码经过时间测试用时有点长，我们能否优化这个O(N)的算法呢？

#include <iostream>
#include <ctime>
using namespace std;
long long normalPower(long long base, long long power)
{
   
   
    int res = 1;
    for (int i = 1; i <= power ; ++i)
    {
   
   
        res *= base;
        res %= 1000;
    }
    return res;
}

int main()
{
   
   
    clock_t start = clock();
    cout << normalPower(2, 1000000000) << endl;
    clock_t end = clock();
    cout << "The cost of calculate is " << double(end - start) / CLOCKS_PER_SEC << endl;
}

二、快速幂算法

核心思想就是如果幂次是偶数，那么我们可以让底数变成原来的平方，如果幂次是奇数，那么我们可以分解出一个底数，让它与返回结果相乘，然后幂次就是偶数了，通敌，让底数变为原来的平方，当幂次分到0的时候，就意味着我们不能再分解了，结束循环。

long long QuickPower(long long base, long long power)
{
   
   
    int res = 1;
    while (power > 0)
    {
   
   
        if (power % 2 == 0)
        {
   
   
            /*偶数情况 则底数平方 幂次变为原来的一半*/
            base = base * base % 1000;
            power /= 2;
        }
        else
        {
   
   
            /*指数是奇数情况 则拿出一个底数 使得指数变成偶数 然后就可以按照偶数那样操作*/
            res = res * base % 1000;
            --power;
            base = base * base % 1000;
            power /= 2;
        }
        /*直到幂次被削为0次幂时，循环结束，0次幂的时候就无法再进行削指数的操作了*/
    }
    return res;
}

优化一下重复部分，发现只有奇数有额外操作，可以简化为：

long long QuickPower(long long base, long long power)
{
   
   
    int res = 1;
    while (power > 0)
    {
   
   
        if (power % 2 == 1)
        {
   
   
            res = res * base % 1000;
            --power;
        }
        base = base * base % 1000;
        power /= 2;
        /*直到幂次被削为0次幂时，循环结束，0次幂的时候就无法再进行削指数的操作了*/
    }
    return res;
}

再优化一下，可以把power % 2 == 1优化为：power & 1 == 1，然后再优化成power & 1,然后power /= 2优化为power >>= 1

long long QuickPower(long long base, long long power)
{
   
   
    int res = 1;
    while (power > 0)
    {
   
   
        if (power & 1)
        {
   
   
            /*幂次为奇数时 需要把一个底数提取出来 然后让power - 1变为偶数*/
            res = res * base % 1000;
            --power;
        }
        /*偶数情况则直接让底数平方 指数除2*/
        base = base * base % 1000;
        power >>= 1;
        /*直到幂次被削为0次幂时，循环结束，0次幂的时候就无法再进行削指数的操作了*/
    }
    return res;
}