25、基于径向基函数的无网格方法求解偏微分方程

基于径向基函数的无网格方法求解偏微分方程

在科学与工程领域，偏微分方程（PDEs）的求解是一个核心问题。本文将介绍几种使用径向基函数（RBF）的无网格方法来求解椭圆、抛物和双调和问题，并给出相应的MATLAB代码示例。

1. 抛物问题的求解方法

对于抛物问题，有两种主要的求解途径。

1.1 拉普拉斯变换法

• 首先，通过对原问题进行拉普拉斯变换，得到一个新的问题，其解可以近似表示为：
  [v_h = \sum_{j=1}^{n} a_j G(P, Q_j; \lambda)]
  其中 (G) 是算子 (\Delta - \lambda^2) 的基本解。
• 然后，得到 (\tilde{u}_h = v_h + \tilde{u}_p)，它是变换后问题解 (\tilde{u}) 的近似。
• 最后，通过逆拉普拉斯变换 (u_h(P, t) = LT^{-1}(\tilde{u}_h)) 得到原问题的近似解，逆拉普拉斯变换可以使用Stehfest方法计算。

1.2 时间离散法

先对原抛物问题在时间上进行离散，例如使用向后欧拉格式，对于方程 (\frac{\partial u}{\partial t} - \alpha(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}) = f(x, y, t, u, u_x, u_y))，得到：
[(\Delta - \frac{1}{\Delta t})u^{n + 1}(P) = -\frac{1}{\Delta t}