26、偏微分方程数值求解：从理论到实践

偏微分方程数值求解：从理论到实践

1. 偏微分方程模型概述

在研究药物分布等实际问题时，偏微分方程（PDE）模型发挥着重要作用。不过，这里并非呈现最先进的药物分布模型，而是致力于展示具有特定特征的PDE模型的方法（Method of Lines，MOL）求解过程，例如在圆柱坐标系下的两个同时存在的二维PDE，涵盖线性、时变系数和非线性情况。同时，还给出了基于有限差分（FD）对模型进行编程的替代方案，并提出了评估数值解准确性的方法，如h和p细化。

2. 对流 - 扩散 - 反应PDE的起源

大多数常微分方程（ODE）/偏微分方程（PDE）模型源于守恒原理的应用，常见的有质量、动量和能量守恒。下面详细探讨一个PDE的推导、其有限差分（FD）近似以及边界条件（BC）的FD近似。

2.1 从守恒原理推导PDE

以质量守恒推导方程 $\frac{\partial c}{\partial t} = D\frac{\partial^2 c}{\partial z^2}$ 为例。从笛卡尔坐标系下边长为 $\Delta x$、$\Delta y$、$\Delta z$ 的增量立方体的质量平衡开始：
$\Delta x\Delta y\Delta z \frac{\partial c}{\partial t} = -\Delta y\Delta zD_x\frac{\partial c}{\partial x}| {x} - (-\Delta y\Delta zD_x\frac{\partial c}{\partial x}| {x+\Delta x}) = -\Delta x\Delta zD_y\frac{\part