26、径向基函数与区域分解法结合求解偏微分方程

径向基函数与区域分解法结合求解偏微分方程

1. 引言

在计算偏微分方程时，径向基函数（RBF）无网格方法是一种有效的工具。然而，RBF 无网格方法得到的系数矩阵通常是高度病态的，这限制了其在大规模问题中的应用。随着配点数量的增加，病态问题会变得更加严重。为了解决这个问题，可以使用区域分解法（DDM）将全局大区域问题分解为多个小的子区域问题，从而降低 RBF 无网格方法的条件数。

2. 代码示例

在 MATLAB 中，我们可以通过以下代码计算相对误差并输出结果：

if abs(uex(i)) > 1e-6
    Rerr(i)=err(i)/abs(uex(i));
    % relative error
else
    Rerr(i)=0;
end
fprintf(fid, '%9.4f %9.4f %10.6e %10.6e %10.6e %10.6e\n', ...
    XX(i),YY(i),uapp(i),uex(i),err(i),Rerr(i));
end
disp('Nall=, max err, Relative err='), ...
Nall, max(err), max(Rerr),
% plot only the errors on the boundaries
figure(2),
plot(NI+1:Nall,err(NI+1:Nall),'b-', ...
    NI+1:Nall,err(NI+1:Nall),'.');
status=fclose(fid);

3. 区域分解法与 RBF 无网格方法的结合