24、基于径向基函数的无网格方法

基于径向基函数的无网格方法

1. 径向基函数的收敛速率

对于 $\varphi(r) = (r^2 + c^2)^{\beta/2}$（$\beta \notin 2N$）和高斯函数 $\varphi(r) = e^{-cr^2}$，具有超代数收敛速率：
$$||I_{f,X} - f|| {L^{\infty}(\Omega)} \leq Ch^p, p \geq 1$$
在特定条件下，对于高斯函数 $\varphi(r) = e^{-cr^2}$，$||I {f,X} - f||_{L^{\infty}(\Omega)}$ 在 $c$ 和 $h$ 上呈指数递减。

对于 Wendland 的紧支径向基函数 $\varphi_{3,k}(r)$，在二维空间（$R^2$）中，有：
$$||I_{f,X} - f|| {L^{\infty}(\Omega)} \leq Ch^{k + \frac{1}{2}}, k \geq 1$$
例如，对于 $\varphi {3,1}(r) = (1 - r)^4(4r + 1)$，其收敛速率为 $h^{\frac{3}{2}}$。

对于薄板样条函数 $r^{2k - 1}$ 和 $r^{2k} \ln r$（$k \geq 2$），有：
$$||I_{f,X} - f||_{L^{\infty}(\Omega)} \leq Ch^{k - \frac{d}{2}}$$

2. MFS - DRM 方法概述

MFS - DRM 方法用于求解椭圆和抛物方程。下面分别介绍相关内容。

2.1 偏