20、时域有限元方法在电磁学中的应用

时域有限元方法在电磁学中的应用

1. 引言

在电磁学领域，时域有限元方法是求解麦克斯韦方程组的重要工具。本文将详细介绍三种时域有限元方法：混合方法、标准伽辽金方法和间断伽辽金方法，并对它们的原理、实现和误差分析进行深入探讨。

2. 混合方法

2.1 麦克斯韦方程组

考虑简单介质中的麦克斯韦方程组：
[
\begin{cases}
\epsilon E_t + \sigma E - \nabla \times H = -J_s, & \text{在 } \Omega \times (0, T) \
\mu H_t + \nabla \times E = 0, & \text{在 } \Omega \times (0, T)
\end{cases}
]
其中，(\Omega) 是 (\mathbb{R}^3) 中的有界 Lipschitz 连续多面体区域，(\epsilon)、(\sigma) 和 (\mu) 是随位置变化的系数，满足一定的条件。边界条件为 (n \times E = 0) 在 (\partial \Omega \times (0, T)) 上，初始条件为 (E(x, 0) = E_0(x)) 和 (H(x, 0) = H_0(x))。

2.2 弱形式

通过乘以测试函数并积分，得到麦克斯韦方程组的弱形式：
[
\begin{cases}
(\epsilon E_t, \varphi) + (\sigma E, \varphi) - (\nabla \times H, \varphi)