12、二维偏微分方程有限元方法基础

二维偏微分方程有限元方法基础

1. 二维问题简介

为了说明二维偏微分方程（PDEs）有限元方法的基本技术，下面介绍两个例子。

1.1 泊松方程

考虑泊松方程：
[
\begin{cases}
-\Delta u = f(x_1, x_2) & \text{在 }\Omega\text{ 内} \
u = 0 & \text{在 }\partial\Omega\text{ 上}
\end{cases}
]
其中，(\Omega) 是平面上具有边界 (\partial\Omega) 的有界区域，(f) 是 (\Omega) 上给定的实值分段连续有界函数，拉普拉斯算子 (\Delta) 定义为 (\Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial x_2^2})。

在二维空间中，有散度定理：
(\int_{\Omega} \nabla \cdot \mathbf{b} dx = \int_{\partial\Omega} \mathbf{b} \cdot \mathbf{n} ds)
其中，(\mathbf{b} = (b_1, b_2)) 是定义在 (\Omega) 上的向量值函数，散度算子 (\nabla \cdot \mathbf{b} = \frac{\partial b_1}{\partial x_1} + \frac{\partial b_2}{\partial x_2})，(\mathbf{n} = (n_1, n_2)) 是 (\parti