偏微分方程的有限元解法

本文我们以求解泊松方程为例，讲述偏微分方程(PDE)的有限元解法，附FEniCS代码

方程定义

首先是泊松方程的表达式
$$-\Delta u=f\text{ in }\Omega \text{\hspace{1em}(1)}$$
其边界条件
$$\begin{gathered} u{|}_{{\Gamma }_D}=u_0\text{ on }{\Gamma }_D \\ {\frac{\partial u}{\partial n}|}_{{\Gamma }_N}=g\text{ on }{\Gamma }_N=\partial \Omega -{\Gamma }_D \end{gathered}$$
第一行是第一类边界条件（Dirichlet边界条件），第二行是第二类边界条件（Neumann边界条件）

弱（变分）形式

首先：对式子(1)两边都乘上测试函数$v$，然后对全域$\Omega$积分

这里需要说明一下试探函数(Trail Function)和测试函数(Test Function)的概念。
$$-{\int }_{\Omega }\Delta uvdx={\int }_{\Omega }fvdx\text{\hspace{1em}(2)}$$
测试函数定义为，即在测试函数在第一类边界上为0
V^={ v∈H1(Ω):v=0 on ΓD} \hat{V} = \{v\in H^1(\Omega): \textcolor{red}{v=0} \text{ on } \Gamma_D\} V^={ v∈H1(Ω):v=0 on ΓD​}
试探函数定义为
$$V=$$