等价代换与罗比他法则在极限求值中的应用

无穷小就是以数零为极限的变量。然而常量是变量的特殊一类，就像直线属于曲线的一种。因此常量也是可以当做变量来研究的。这么说来——0是可以作为无穷小的常数。从另一方面来说，等价无穷小也可以看成是泰勒公式在零点展开到一阶的泰勒展开公式。

等价无穷小的定义

 

（C为常数），就说b是a的n阶的无穷小， b和a^n是同阶无穷小。特殊地，C=1且n=1，即

   

，则称a和b是等价无穷小的关系，记作a～b。

无穷小的比较

假设a、b都是在x的同一变化过程(x→x0、x→∞、x→x0+……)时的无穷小，且

（1）如果

   

，就说a是比b高阶的无穷小(或b是a低阶的无穷小），记作a=o（b）

（2）如果

   

，就是说a是比b低阶的无穷小。

比如

   

，

   

。x→∞时，通俗的说，b任意时刻都比a更快地趋于0，所以称做是b高阶。假如有

   

,那么c比a和b都要高阶，因为c更快地趋于0了。

如果   （C为常数），就说b是关于a的n阶的无穷小， b和 aⁿ 是 同阶无穷小 。

无穷小

确切地说，当函数中自变量x或数列中n无限接近某个值x0(x0可以是0、∞、或是别的什么数)时，函数值f(x)与零无限接近，即limf(x)=0，则称f(x)为当x→x0时的无穷小或无穷小量。

例如，

   

是当x→1时的无穷小量，f(n)=1/n是当n→∞时的无穷小量，f(x)=sinx是当x→0时的无穷小量。特别要指出的是，切不可把很小的常数与无穷小量混为一谈，常数0在自变量所有过程中都是无穷小，但是无穷小不一定是0。

无穷小等价替换定理

设在x的某一变化过程中，α和β都是无穷小，且

   

，

   

存在（不包括

   

），

则：