常用概率分布函数及随机特征

常见分布的随机特征

离散随机变量分布

伯努利分布（二点分布）

伯努利分布亦称“零一分布”、“两点分布”。称随机变量X有伯努利分布, 参数为p(0<p<1),如果它分别以概率p和1-p取1和0为值。EX= p,DX=p(1-p)。伯努利试验成功的次数服从伯努利分布,参数p是试验成功的概率。伯努利分布是一个离散型机率分布，是N=1时 二项分布的特殊情况，为纪念 瑞士科学家詹姆斯· 伯努利(Jacob Bernoulli 或James Bernoulli)而命名。

一个非常简单的试验是只有两个可能结果的试验，比如正面或反面，成功或失败，有缺陷或没有缺陷，病人康复或未康复。为方便起见，记这两个可能的结果为0和1，下面的定义就是建立在这类试验基础之上的。

如果 随机变量X只取0和1两个值，并且相应的概率为：

X 服从 (0-1)分布或两点分布.记为X~b(1,p)

则称随机变量X服从参数为p的伯努利分布，若令q=1一p，则X的概率函数可写 为：

要证明该概率函数

   

确实是公式所定义的伯努利分布，只要注意到

   

，就很容易得证。

如果X服从参数为p的伯努利分布，则：

并且，

进而，X的矩母函数为：

二项分布

二项分布就是重复n次独立的伯努利试验。在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布服从0-1分布。

二项分布（Binomial Distribution），即重复n次的 伯努利试验（Bernoulli Experiment），用ξ表示 随机试验的结果。如果事件发生的 概率是P,则不发生的概率q=1-p，N次 独立重复试验中发生K次的概率是

那么就说这个属于二项分布。其中P称为成功概率。记作ξ~B(n,p)

数学期望和差：

数学期望：Eξ=np；

方差：Dξ=npq；

其中q=1-p

证明：

由二项式分布的定义知，随机变量X是n重伯努利实验中事件A发生的次数，且在每次试验中A发生的概率为p。因此，可以将二项式分布分解成n个相互独立且以p为参数的（0-1）分布随机变量之和.

设 随机变量X（k）(k=1,2,3...n)服从（0-1）分布，则X=X(1)+X(2)+X(3)....X(n).

因X(k)相互独立，所以期望：

方差：

1．在每次试验中只有两种可能的结果，而且是互相对立的；

2．每次实验是独立的，与其它各次试验结果无关；

3．结果事件发生的概率在整个系列试验中保持不变，则这一系列试验称为伯努利实验。

在这试验中，事件发生的次数为一随机事件，它服从二次分布。二项分布可
以用于可靠性试验。可靠性试验常常是投入n个相同的式样进行试验T小时，而只允许k个式样失败，应用二项分布可以得到通过试验的概率。

若某事件概率为p，现重复试验n次，该事件发生k次的概率为：P=C(n,k)×p^k×(1-p)^(n-k)。C(n,k)表示组合数，即从n个事物中拿出k个的方法数 。

性质

（一）二项分布是 离散 型分布，概率 直方图 是跃阶式的。因为x为不连续变量，用概率条图表示更合适，用 直方图 表示只是为了更形象些。

1．当p=q时图形是对称的

例如，

   

，p=q=1/2，各项的概率可写作：

2．当p≠q时，直方图呈 偏态，p<q与p>q的偏斜方向相反。如果n很大，即使p≠q，偏态逐渐降低，最终成正态分布，二项分布的极限分布为 正态分布。故当n很大时，二项分布的概率可用正态分布的概率作为近似值。何谓n很大呢?一般规定：当p<q且np≥5，或p>q且nq≥5，这时的n就被认为很大，可以用正态分布的概率作为近似值了。

（二）二项分布的 平均数与 标准差

如果二项分布满足p<q，np≥5，(或p>q，np≥5)时，二项分布接近正态分布。这时，也仅仅在这时，二项分布的x变量(即成功的次数)具有如下性质：

即x变量具有μ =  n p，的正态分布。

泊松分布

 

Poisson分布（法语：loi de Poisson，英语：Poisson distribution，译名有泊松分布、普阿松分布、卜瓦松分布、布瓦松分布、布阿松分布、波以松分布、卜氏分配等），是一种统计与概率学里常见到的离散 概率分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Siméon-Denis Poisson）在1838年时发表。

泊松分布的概率函数为：

泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率。 泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。

泊松分布数学期望和方差：

泊松分布的 数学期望和 方差均为

   

特征函数为

 

柏松分布应用示例

泊松分布适合于描述单位时间（或空间）内随机事件发生的次数。如某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一块产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等等。  

观察事物平均发生m次的条件下，实际发生x次的概率P（x）可用下式表示：

例如采用0.05J/㎡紫外线照射大肠杆菌时，每个基因组（～4×10 6 核苷酸对）平均产生3个嘧啶二体。实际上每个基因组二体的分布是服从泊松分布的，将取如下形式：