微积分

如果$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=f(a)$，函数$f$在点$x=a$处连续
如果函数在其定义域中的所有的点都连续，就说它是连续的。

如果一个函数$f$在$x$上可导，那么它在$x$上连续

存在不可导的连续函数

介值定理

如果$f$在$[a,b]$上连续，并且$f(a)<0$且$f(b)>0$，那么在区间$(a,b)$上至少有一点$c$，使得$f(c)=0$。代之以$f(a)>0$且$f(b)<0$，同样成立。

如果$f$在$[a,b]$上连续，那么$f$在$[a,b]$上至少有一个最大值和一个最小值

导函数

$$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
如果极限存在的话，$f$在$x$点可导。如果极限不存在，即$f$在点$x$不可导。

极值定理

假设函数$f$定义在开区间$(a,b)$内，并且点$c$在$(a,b)$区间内。如果点$c$为函数的局部最大值或最小值，那么点$c$一定为该函数的临界点。也就是说$f^{\prime }(c)=0$或$f^{\prime }(c)$不存在

如果函数在$x=c$处的导数为零或导数不存在，就称$x=c$为临界点

罗尔定理

假设函数$f$在闭区间$[a,b]$内连续，在开区间$(a,b)$可导。如果$f(a)=f(b)$，那么在开区间$(a,b)$内至少存在一点$c$，使得$f^{\prime }(c)=0$

中值定理

假设函数$f$在闭区间$[a,b]$内连续，在开区间$(a,b)$可导，那么在$(a,b)$内至少存在一点$c$，使得$$f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

如果对于在定义域$(a,b)$内的所有$x$，都有$f^{\prime }(x)=0$，那么函数$f$在开区间$(a,b)$内为常数函数
如果对于任意实数$x$都有$f^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)$，那么有$f(x)=g(x)+C(C为常数)$
如果函数$f$的导函数始终为正，那么该函数为增函数。如果对于所有$x$，$f^{\prime }(x)<0$，那么这样的函数时减函数。

定积分

$${\int }_b^{a}f(x)dx=-{\int }_b^{a}f(x)dx$$
$${\int }_a^{a}f(x)dx=0$$
$${\int }_b^{a}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx$$
$${\int }_a^{b}Cf(x)dx=C{\int }_a^{b}f(x)dx$$
$${\int }_a^b(f(x)+g(x))dx={\int }_a^{b}f(x)dx+{\int }_a^{b}g(x)dx$$

积分中值定理

如果函数$f$在闭区间$[a,b]$上连续，那么在开区间$(a,b)$内总有一点$c$，满足$f(c)=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx$

微积分的第一基本定理

如果函数$f$在闭区间$[a,b]$上连续，定义$F$为$$F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt,x\in [a,b]$$，则$F$在开区间$(a,b)$内是可导函数，而且$F^{\prime }(x)=f(x)$

微积分的第二基本定理

如果函数$f$在闭区间$[a,b]$上连续，$F$是$f$的任意一个反导数（关于$x$），那么有$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$$

$F^{\prime }(x)=x^2$，函数$F$的导数为$x^2$，我们说$F$是$x^2$的反导数
$\int f(x)dx$表示函数$f$的反导数集合
如果$\frac{d}{dx}F(x)=f(x)$，那么$\int f(x)dx=F(x)+C$