数据表示和检验原码、反码、补码、移码表示法

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本文深入探讨了计算机中数值的表示方法，包括无符号数和带符号数，以及原码、反码、补码和移码的不同编码方式。详细解释了每种编码下数值的范围和特点，特别关注于补码表示法及其在现代计算机系统中的应用。

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各种数值在计算机中表示的形式称为机器数，其特点是采用二进制计数制，数的符号用0、1表示，小数点则隐含表示不占位置。机器数对应的实际数值称为数的真值。
机器数有无符号数和带符号数之分。无符号数表示正数，在机器数中没有符号位。对于无符号位数，若约定小数点的位置在机器数的最低位之后，则是纯整数；若约定小数点的位置在机器数的最高位之前，则是纯小数。对于带符号数，机器数的最高位是表示正、负的符号位，其余位则表示数值。若约定小数点的位置在机器数的最低数值位之后，则是纯正数；若约定小数点的位置在机器数的最高位之前（符号位之后），则是纯小数。

为了便于运算，带符号的机器数可采用原码、反码和补码等不同的编码方法。

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正数的反码与原码相同，负数的反码则是其绝对值按位取反
正数的补码与其原码和反码相同，负数的补码则等于其反码的末尾加1
二进制的小数点后面第一位正好表示的是2的-1次方，第二位是2的-2次方
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原码表示法

原码表示法。数值X的原码记为[X]原，如果机器字长为n（即采用n个二进制位表示数据），则原码的定义如下：
若 $X$ 是纯整数，则
$[X]原={X0≤X≤2n−1−12n−1+∣X∣−(2n−1−1)≤X≤0[X]_原= \begin{cases} X & 0 \leq X \leq 2^{n-1}-1 \\ 2^{n-1}+|X| & -(2^{n-1}-1) \leq X \leq 0 \end{cases}$
若 $X$ 是纯小数，则
$[X]原={X0≤X≤120+∣X∣−1<X≤0[X]_原= \begin{cases} X & 0 \leq X \leq 1 \\ 2^{0}+|X| & -1 < X \leq 0 \end{cases}$
在原码表示法中，最高位是符号位，0表示正号，1表示负号，其余的 $n - 1$ 位表示数值的绝对值。
数值0的原码表示有两种形式： $0]_原=0 0000000 \\ [-0]_原=1 0000000$

反码表示法

反码表示法。数值 $X$ 的反码记作 $X]_反$ ，如果机器字长为 $n$ ，则反码定义如下：
若 $X$ 是纯整数，则
$[X]反={X0≤X≤2n−1−12n−1+∣X∣−(2n−1−1)≤X≤0[X]_反= \begin{cases} X & 0 \leq X \leq 2^{n-1}-1 \\ 2^{n-1}+|X| & -(2^{n-1}-1) \leq X \leq 0 \end{cases}$
若 $X$ 是纯小数，则
$[X]反={X0≤X≤12−2−(n−1)+X−1<X≤0[X]_反= \begin{cases} X & 0 \leq X \leq 1 \\ 2-2^{-(n-1)}+X & -1 < X \leq 0 \end{cases}$
在反码表示法中，最高位是符号位，0表示证号，1表示负号，正数的反码与原码相同，负数的反码则是其绝对值按位取反。
数值0的反码表示有两种形式： $0]_反=0 0000000 \\ [-0]_反=1 1111111$

补码表示法

补码表示法。数值 $X$ 的补码记作 $X]_补$ ，如果机器字长为 $n$ ，则补码定义如下：
若 $X$ 是纯整数，则
$[X]补={X0≤X≤2n−1−12n+∣X∣−(2n−1−1)≤X≤0[X]_补= \begin{cases} X & 0 \leq X \leq 2^{n-1}-1 \\ 2^{n}+|X| & -(2^{n-1}-1) \leq X \leq 0 \end{cases}$
若 $X$ 是纯小数，则
$[X]补={X0≤X≤12+X−1<X≤0[X]_补= \begin{cases} X & 0 \leq X \leq 1 \\ 2+X & -1 < X \leq 0 \end{cases}$
在补码表示法中，最高位为符号位，0表示正号，1表示符号，正数的补码与其原码和反码相同，负数的补码则等于其反码的末尾加1。在补码表示中，0有唯一的编码： $0]_补=0 0000000 \\ [-0]_补=0 0000000$

移码表示法

移码表示法是在数 $X$ 上增加一个偏移量来定义的，常用于浮点数中的阶码。如果机器字长为 $n$ ，规定偏移量为 $2^{n-1}$ ，则移码定义如下：
若 $X$ 是纯整数，则
$[X]移=2n−1+X(−2n−1≤X<2n−1)[X]_移=2^{n-1}+X(-2^{n-1} \leq X < 2^{n-1})$
若 $X$ 是纯小数，则
$[X]移=1+X(−1≤X<1)[X]_移=1+X(-1 \leq X < 1)$
实际上在偏移 $2^{n-1}$ 的情况下，只要将补码的符号位取反即可获得相应的移码表示

所谓定点数，就是小数点位置固定不变的数。小数点的位置通常有两种约定方式：定点整数（纯整数，小数点在最低有效数值位之后）和定点小数（纯小数，小数点在最高有效数值位之前）

码制	定点整数	定点小数
原码	$−(2n−1−1)∼+(2n−1−1)-(2^{n-1}-1) \sim +(2^{n-1}-1)$	$−(1−2−(n−1))∼+(1−2−(n−1))-(1-2^{-(n-1)}) \sim +(1-2^{-(n-1)})$
反码	$−(2n−1−1)∼+(2n−1−1)-(2^{n-1}-1) \sim +(2^{n-1}-1)$	$−(1−2−(n−1))∼+(1−2−(n−1))-(1-2^{-(n-1)}) \sim +(1-2^{-(n-1)})$
补码	$−2n−1∼+(2n−1−1)-2^{n-1} \sim +(2^{n-1}-1)$	$\sim +(1-2^{-(n-1)})$
移码	$−2n−1∼+(2n−1−1)-2^{n-1} \sim +(2^{n-1}-1)$	$\sim +(1-2^{-(n-1)})$