导数

导数的应用

1. 若一阶导数大于0，则单调递增；若一阶导数小于0，则单调递减；导数等于零的点为函数的驻点
2. 若二阶导数大于0，则曲线是凹的；若二阶导数小于0，则曲线是凸的。曲线上凹凸性改变的点为曲线的拐点
3. 如果函数的导函数在某一个区间内恒大与零（或恒小于零），那么函数在这个区间单调递增（或单调递减），这种区间就叫做单调区间；如果函数的二阶导函数在某一个区间内恒大于零（或恒小于零），那么曲线在这个区间是凹的（或凸的），这种区间就叫做凹凸区间

设函数$y=f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，

1. 如果在$(a,b)$内$f^{\prime }(x)>0$，那么函数$y=f(x)$在$[a,b]$上单调增加
2. 如果在$(a,b)$内$f^{\prime }(x)<0$，那么函数$y=f(x)$在$[a,b]$上单调减少

设函数$f(x)$在区间$I$上连续，$\forall x_1,x_2\in I$

1. 若恒有$f(\frac{x_1+x_2}{2})<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$，则称$f(x)$的图形是凹的
2. 若恒有$f(\frac{x_1+x_2}{2})>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$，则称$f(x)$的图形是凸的
   连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点

设函数$f(x)$在区间$I$上有二阶导数

1. 在$I$内$f^{\prime \prime }(x)>0$，则$f(x)$内图形是凹的
2. 在$I$内$f^{\prime \prime }(x)<0$，则$f(x)$内图形是凸的

求极值的步骤：

1. 确定函数的定义域
2. 求导数$f^{\prime }(x)$
3. 求定义域内部的极值嫌疑点（即驻点或一阶导数不存在的点）
4. 用极值判定第一或第二充分条件，注意第二充分条件只能判定驻点的情形

极值存在的第一充分条件
设函数$f(x)$在$x_0$连续，且在$x_0$的某去心领域$\bigcup ^0(x_0,\delta )$内可导，

1. 若当$x\in (x_0-\delta ,x_0)$时，$f^{\prime }(x)>0$；当$x\in (x_0,x_0+\delta )$时，$f^{\prime }(x)<0$，则$f(x)$在$x_0$处取得极大值
2. 若当$x\in (x_0-\delta ,x_0)$时，$f^{\prime }(x)<0$；当$x\in (x_0,x_0+\delta )$时，$f^{\prime }(x)>0$，则$f(x)$在$x_0$处取得极小值
3. 当$x\in \bigcup ^0(x_0,\delta )$时，$f^{\prime }(x)$符号保持不变，则$f(x)$在$x_0$处无极值

极值存在的第二充分条件
设函数$f(x)$在它的驻点$x_0$处二阶可导，则

1. 如果$f^{\prime \prime }(x_0)>0$，则$x_0$为极小值点
2. 如果$f^{\prime \prime }(x_0)<0$，则$x_0$为极大值点
3. 如果$f^{\prime \prime }(x_0)=0$，则无法判断
   注意第二充分条件只能判定驻点的情形

泰勒公式是用一个函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况下，泰勒公式可以利用这些导数值来做系数构建一个多项式近似函数在这一点的邻域中的值

泰勒公式
如果函数$f(x)$在含$x_0$的某个开区间$(a,b)$内具有直到$(n+1)$阶导数，则对$\forall x\in (a,b)$
$$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}}{n!}(x-x_0{)}^n+R_n(x)\text{\hspace{1em}(1)}$$$$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}\text{\hspace{1em}(2)}$$
$$P_n(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}}{n!}(x-x_0{)}^n$$

公式1称为$f(x)$的$n$阶泰勒公式
公式2称为$n$阶泰勒公式的拉格朗日余项

麦克劳林公式（特殊$x_0=0$）
$$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)(x)+\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2!}(x{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}}{n!}(x{)}^n+R_n(x)$$

佩亚诺余项：
$$R_n(x)=o[(x-x_0{)}^n]$$
拉格朗日余项：
$$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}}{(n+1)!}[x_0+\theta (x-x_0)](x-x_0{)}^{n+1}$$

设$D$是平面上的一个点集，如果对于每个点$p(x,y)\in D$，变量$z$按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称$z$是变量$x,y$的二元函数，记为$z=f(x,y)$或记为$z=f(P)$
设函数$z=f(x,y)$的定义域为$D$，对于任意取定的$p(x,y)\in D$，对应的函数值为$z=f(x,y)$，这样以$x$为横坐标、$y$为纵坐标、$z$为竖坐标在空间就确定一点$M(x,y,z)$，取$(x,y)$遍$D$上一切点时，得一个空间点集{(x,y,z)∣z=f(x,y),(x,y)∈D}\{(x,y,z)|z=f(x,y),(x,y) \in D\}{(x,y,z)∣z=f(x,y),(x,y)∈D}，这个点集称为二元函数的图形

在一个多变量函数中，偏导数就是关于其中一个变量的导数而保持其它变量恒定不变。
假定二元函数$z=f(x,y)$，点$(x_0,y_0)$是其定义域内的一个点，将$y$固定在$y_0$上，而$x$在$x_0$上的增量$\Delta x$，相应的函数$z$有增量$\Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)$；$\Delta z$和$\Delta x$的比值当$\Delta x$趋近于0的时候，如果极限存在，那么此极限值称为函数$z=f(x,y)$在$(x_0,y_0)$处对$x$的偏导数，记作$f_x^{\prime }(x_0,y_0)$
$$\frac{\partial f}{\partial x}|$$
偏导数是多元函数对其中某一个自变量（其余自变量视为常量）的变化率

函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$存在偏导数，且在该点取得极值，则有
$$f_x^{\prime }(x_0,y_0)=0,f_y^{\prime }(x_0,y_0)=0$$
使偏导数都为0的点称为驻点

函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数，且
$$f_x(x_0,y_0)=0,f_y(x_0,y_0)=0$$
令：
$$A=f_{xx}(x_0,y_0),B=f_{xy}(x_0,y_0),C=f_{yy}(x_0,y_0)$$
则：

1.当$AC-B^2>0$时，具有极值，$$\{\begin{array}{l}A<0时取极大值\\ A>0时取极小值\end{array}$$

2. 当$AC-B^2<0$时，没有极值
3. 当$AC-B^2=0$时，不能确定，需另行讨论

要找函数$z=f(x,y)$在条件$\phi (x,y)=0$下的可能极值点，引入拉格朗日函数
$$F(x,y;\lambda )=f(x,y)+\phi (x,y)$$
其中$\lambda$为参数，令：
$$\{\begin{array}{l}{f}_x^{\prime }(x,y)+\lambda {\phi }_x^{\prime }(x,y)=0\\ f_y^{\prime \prime }(x,y)+\lambda {\phi }_y^{\prime }(x,y)=0\\ \phi (x,y)=0\end{array}$$
解出$x,y,\lambda$，其中$x,y$就是可能的极值点坐标
如果目标函数是三元函数$f(x,y,z)$，且约束条件有两个，$g(x,y,z)=0,h(x,y,z)=0$
则构造拉格朗日函数为
$$L(x,y,z;\lambda ,\mu )=f(x,y,z)+\lambda g(x,y,z)+\mu h(x,y,z)$$
令：
$$\{\begin{array}{l}{f}_x^{\prime }(x,y,z)+\lambda g_x^{\prime }(x,y,z)+\mu h_x^{\prime }(x,y,z)=0\\ f_y^{\prime }(x,y,z)+\lambda g_y^{\prime }(x,y,z)+\mu h_y^{\prime }(x,y,z)=0\\ f_z^{\prime }(x,y,z)+\lambda g_z^{\prime }(x,y,z)+\mu h_z^{\prime }(x,y,z)=0\\ g(x,y,z)=0\\ h(x,y,z)=0\end{array}$$
解出$x,y,z$，就是可能的极值点的坐标

若函数$f(x,y,z)$在点$P(x,y,z)$处沿方向$l$（方向角为$\alpha ,\beta ,\gamma$）存在下列极限：
$$\begin{gathered} \underset{p\to 0}{\lim }\frac{\Delta f}{p}=\underset{p\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x,y+\Delta y,z+\Delta z)-f(x,y,z)}{p}记作\frac{\partial f}{\partial l} \\ p=|\Delta \vec{l}|=\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2+(\Delta z{)}^2} \\ \Delta x=pcos\alpha ,\Delta y=pcos\beta ,\Delta z=pcos\gamma \end{gathered}$$

则称$\frac{\partial f}{\partial l}$为函数在点$P$处沿方向$l$的方向导数

若函数$f(x,y,z)$在点$p(x,y,z)$处可微，则有：
$$\frac{\partial f}{\partial l}=\frac{\partial f}{\partial x}cos\alpha +\frac{\partial f}{\partial y}cos\beta +\frac{\partial f}{\partial z}cos\gamma$$
其中$\alpha ,\beta ,\gamma$为$l$的方向角

$$\begin{gathered} \Delta f=\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y+\frac{\partial f}{\partial z}\Delta z+o(p) \\ =p(\frac{\partial f}{\partial x}cos\alpha +\frac{\partial f}{\partial y}cos\beta +\frac{\partial f}{\partial z}cos\gamma )+o(p) \\ \therefore \frac{\partial f}{\partial l}=\underset{p\to 0}{\lim }\frac{\Delta f}{p}=\frac{\partial f}{\partial x}cos\alpha +\frac{\partial f}{\partial y}cos\beta +\frac{\partial f}{\partial z}cos\gamma \end{gathered}$$

对于二元函数$f(x,y)$，在点$P(x,y)$处沿方向$l$（方向角为$\alpha ,\beta$）的方向导数为
$$\begin{gathered} \frac{\partial f}{\partial l}=\underset{p\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)}{p} \\ =f_x(x,y)cos\alpha +f_y(x,y)cos\beta \\ p=\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}\Delta x=pcos\alpha \Delta y与pcos\beta \end{gathered}$$

当$l$与$x$轴同方向（$\alpha =0,\beta =\frac{\pi }{2}$）时，有$\frac{\partial f}{\partial l}=\frac{\partial f}{\partial x}$
当$l$与$x$轴同反向（$\alpha =\pi ,\beta =\frac{\pi }{2}$）时，有$\frac{\partial f}{\partial l}=-\frac{\partial f}{\partial x}$

在空间的每一个点都可以确定无限多个方向，因此，一个多元函数在某个点也必然有无限多个方向导数。在这无限多个方向导数中，最大的一个（它直接反映了函数在这个点的变化率的数量级）等于多少？它是沿什么方向达到的。描述这个最大方向导数及其所沿方向的矢量，就是下面讨论的梯度。梯度是场论里的一个基本概念。所谓场，它表示空间区域上某种物理量的一种分布。

方向导数公式：
$$\frac{\partial f}{\partial l}=\frac{\partial f}{\partial x}cos\alpha +\frac{\partial f}{\partial y}cos\beta +\frac{\partial f}{\partial z}cos\gamma$$
令向量
$$\begin{gathered} \vec{G}=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}) \\ {\vec{l}}^0=(cos\alpha ,cos\beta ,cos\gamma ) \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} \frac{\partial f}{\partial l}=\vec{G}\cdot {\vec{l}}^0=|\vec{G}||{\vec{l}}^0|cos(\vec{G},{\vec{l}}^0) \\ |{\vec{l}}^0|=1 \\ \frac{\partial f}{\partial l}=|\vec{G}|cos(\vec{G},{\vec{l}}^0) \end{gathered}$$
当${\vec{l}}^0$与$\vec{G}$方向一致时，方向导数取最大值：
$$max(\frac{\partial f}{\partial l})=|\vec{G}|$$
说明：
$$\vec{G}:\{\begin{array}{l}方向:f变化率最大的方向\\ 模长:f的最大变化率之值\end{array}$$
向量$\vec{G}$称为函数$f$在点$P$处的梯度，记作$gradf$即
$$gradf=\frac{\partial f}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\vec{j}+\frac{\partial f}{\partial z}\vec{k}=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z})$$
同样可定义二元函数$f(x,y)$在点$P(x,y)$处的梯度
$$gradf=\frac{\partial f}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\vec{j}=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y})$$
引用记号$\nabla =(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y})$，称为奈布拉算符，或称为向量微分算子或哈密顿算子，则梯度可记为
$$gradf=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y})=\nabla f$$
函数$f$沿梯度$gradf$方向，增加最快（上升）
函数$f$沿梯度$-gradf$方向，减小最快（下降）

梯度是函数$u=f(x,y,z)$在点$P$处取得最大方向导数的方向，最大方向导数为$|gradf|=\sqrt{(\frac{\partial f}{\partial x}{)}^2+(\frac{\partial f}{\partial y}{)}^2+(\frac{\partial f}{\partial z}{)}^2}$
函数$u=f(x,y,z)$在点$P$处沿方向$\vec{l}$的方向导数
$$\frac{\partial f}{\partial \vec{l}}=gradf\cdot {\vec{l}}^0=\nabla f\cdot {\vec{l}}^0$$

$f(x)$在区间$I$上的原函数全体称为$f(x)$在$I$上的不定积分，记作$\int f(x)dx$
若$F^{\prime }(x)=f(x)$，则
$$\int f(x)dx=F(x)+C$$

设函数$f(x)$与$g(x)$的原函数存在，则
$$\int [f(x)\pm g(x)]dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx$$
设函数$f(x)$原函数存在，$k$为非零常数，则
$$\int kf(x)dx=k\int f(x)dx$$
若$f(x)=\sum _{i=1}^n{k}_i{f}_i(x)$，则
$$\int f(x)dx=\sum _{i=1}^n{k}_i\int f_i(x)dx$$

牛顿-莱布尼茨公式
设$F(x)$是连续函数$f(x)$在$[a,b]$上的一个原函数，则$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$$

设二元函数$z=f(x,y)$是有界闭区域$D$上的有解函数，若将$D$任意分割成$n$个小闭区域$\Delta {\sigma }_1,\Delta {\sigma }_2,\cdots ,\Delta {\sigma }_n$并用同样的记号记它们的面积，任取$({\xi }_i,{\eta }_i)\in {\sigma }_i$作和$\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i$，记λ=max⁡1≤i≤n{λσi的直径}\displaystyle \lambda = \max_{1 \leq i \leq n}\{\lambda \sigma_i的直径\}λ=1≤i≤nmax​{λσi​的直径}，若极限
$$\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i$$存在，则称函数$f(x,y)$在$D$上可积，该极限称为$f(x,y)$在$D$s上的二重积分，记作$\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma$
当$f(x,y)$在闭区域上连续或分片连续时，定义中和式的极限必存在，即二重积分必存在
$$\begin{gathered} d\sigma =dxdy \\ \underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma =\underset{D}{\iint }f(x,y)dxdy \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \underset{D}{\iint }[f(x,y)+g(x,y)]d\sigma =\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma +\underset{D}{\iint }g(x,y)d\sigma \\ \underset{D}{\iint }kf(x,y)d\sigma =k\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} D=D_1\bigcup D_2 \\ \underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma =\underset{D_1}{\iint }f(x,y)d\sigma +\underset{D_2}{\iint }f(x,y)d\sigma \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} {\phi }_1(x)\le y\le {\phi }_2(x),a\le x\le b \\ \underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma ={\int }_a^b[{\int }_{{\phi }_1(x)}^{{\phi }_2(x)}f(x,y)dy]dx={\int }_a^{b}dx{\int }_{{\phi }_1(x)}^{{\phi }_2(x)}f(x,y)dy \end{gathered}$$
先对$y$积分，后对$x$积分的二次积分