方差分析 Analysis of Variance ANOVA 变异数分析 F检验

方差分析 Analysis of Variance ，简称ANOVA，又称变异数分析，$F$检验。用于两个及两个以上样本均数差别的显著性检验。由于各种因素影响，研究所得的数据呈现波动状。造成波动的原因可分成两类，一个是不可控的随机因素，另一个是研究中施加的对结果形成影响的可控因素。方差分析是从观测变量的方差入手，研究诸多控制变量中哪些变量是对观测变量有显著影响的变量。

三大分布

自由度

${\chi }^2$分布

设独立随机变量$X_1,X_2,\cdots ,X_n$均服从标准正态分布$N(0,1)$，则随机变量${\chi }^2=\sum _{i=1}^n{\chi }_i^2$的分布称为服从是自由度为$n$的${\chi }^2$分布，记作${\chi }^2\sim {\chi }^2(n)$

$t$分布

设$X\sim N(0,1),Y\sim {\chi }^2(n)$，且$X$与$Y$相互独立，则随机变量为$$t=\frac{X}{\sqrt{Y/n}}$$所服从的分布称为自由度为$n$的$t$分布，记作$t\sim t(n)$

$F$分布

设$X\sim {\chi }^2(n_1),Y\sim {\chi }^2(n_2)$，且$X$与$Y$相互独立，则随机变量为$$F=\frac{X/n_1}{Y/n_2}$$所服从的分布称为自由度为$(n_1,n_2)$的$F$分布，记作$F\sim F(n_1,n_2)$

单因素方差分析

$$F=\frac{MSA}{MSE}\sim F(k-1,n-k)$$
$SSA$组间平方和，反映各总体的样本均值之间的差异程度
$SSE$组内平方和，反映每个样本各观察值的离散状况
$MSA$组间平方
$MSE$组内均方