14、声学数值计算与处理方法解析

声学数值计算与处理方法解析

1. 非线性声学

1.1 非线性波动方程的强形式

给定函数 (f: \Omega \to \mathbb{R})，(c: \Omega \to \mathbb{R})，(B/A, b: \Omega \to \mathbb{R})，需要找到函数 (\psi(t): \Omega \times [0, T] \to \mathbb{R})，使其满足以下方程：
[
\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2\psi}{\partial t^2} - \Delta\psi = f + \frac{1}{c^2} \frac{\partial}{\partial t} \left( b(\Delta\psi) + \frac{B/A}{2c^2} \left(\frac{\partial\psi}{\partial t}\right)^2 + (\nabla\psi)^2 \right)
]
同时满足边界条件：
- 在 (\Gamma_e \times (0, T)) 上，(\psi = \psi_e)
- 在 (\Gamma_n \times (0, T)) 上，(\frac{\partial\psi}{\partial n} = \psi_n)
以及初始条件：
- 当 (r \in \Omega) 且 (t = 0) 时，(\psi(r, 0) = \psi_0)
- 当 (r \in \Omega) 且 (t = 0) 时，(\dot{\psi}(r, 0) = \dot{\psi}_0)

为简化计算，将所有边界条件和初始条件设为零。